點擊不等式的基本性質

喻俊鵬

不等式是初中數學的重要內容之一．而不等式的基本性質則是不等式的靈魂．因此，在學習這部分內容時，要著重注意以下幾個方面．

一、正確理解基本性質的含義

1． 不等式的基本性質1：在不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變．這里的整式包含單獨的一個數、字母以及由字母和數組成的單項式或多項式．例如：若a＞b，那么有a＋5＞b＋5，a－c＞b－c，a＋m＞b＋m，a－＞b－等．

2． 不等式的基本性質2：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．例如：若a＞b，且c＞0，那么有ac＞bc或

＞

．

3． 不等式的基本性質3：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向要改變．對此性質中加黑點的詞的含義要認真領會，重點理解．例如：若a＞b，且c＜0，那么有ac＜bc或

＜

．

4． 由于0既不是正數也不是負數，因此，在運用性質2和性質3時，不等式兩邊所乘以（或除以）的同一個數（或式子）不能為0．否則，不等式的性質不成立．

二、靈活運用基本性質解題

1． 直接運用

例1 利用不等式的性質，用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，則a－2 007b－2 007．

（2） 已知x＞y，且k≠0，那么k2x k2y．

（3） 已知m＞n，那么－m－n．

解析：（1）因a＞b，運用基本性質1，兩邊同減去2 007，得a－2 007＞b－2 007．所以應該填“＞”．

（2）因k≠0，故k2＞0．又x＞y，運用基本性質2，兩邊同乘以k2，得k2x＞k2y．所以應該填“＞”．

（3）因m＞n，運用基本性質3，兩邊同乘以－，得－m ＜ －n．所以應該填“＜”．

例2已知a＜0＜b，則下列式子中錯誤的是（）．

A． a＋c＜b＋cB． ac＜bcC． ＜D． －99a＞－99b

解析：因為a＜0＜b，由基本性質1，得a＋c＜b＋c．由基本性質3，得－99a＞－99b．所以A、D都正確．

又c2≥0，所以c2＋1＞0．由基本性質2，得＜ ．故C也正確．

由于c為任意實數，因此，當c＝0時，ac＜bc不成立．所以B是錯誤的.應選B．

2． 逆向應用

例3 已知關于x的不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化為x＜1的形式，求k的取值范圍．

解析：由題設條件，原不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化為x＜1，知此時不等號的方向改變了．根據基本性質3，說明不等式的兩邊同除以的k－2 008必為負數．故k－2 008＜0，所以k＜2 008．

點評：在運用不等式的性質時，一定要記住“一變兩不變”：性質1和性質2中不等號的方向不變，性質3中不等號的方向改變．

<\192.168.0.129本地磁盤 (d)王玲霞數據八年級數學北師大08年1-2期版式+圖jjgg.TIF>[想一想，練一練]

1． 用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，則9a＋19b＋1．

（2） 若a＜b，且c＞0，則ac＋cbc＋c．

（3） 已知a＞0，b＜0，c＜0，那么（a－b）c 0．

2． 如果a＜b，那么下列不等式中，正確的個數是（）．

①－8＋a＜－8＋b；

②－7a－9＜－7b－9；

③－a＋2 008＜－b＋2 008；

④2 007－a＞2 007－b．

A． 1個B． 2個 C． 3個D． 4個

3． 若關于y的不等式（m＋7）y＜2（m＋7）可以化為y＞2的形式，求m的取值范圍．

參考答案

1．（1） ＞ （2） ＜ （3） ＜2．B3． m＜－7．

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