分解因式中要重視整體思想的運用

明　師

數學的思想方法比數學知識更為重要，這是因為知識的記憶是暫時的，思想與方法的掌握是永久的；知識只能使人受益于一時，思想與方法將使人受益于終生．著名數學教育家波利亞在上世紀60年代曾作過統計，普通中學的學生，畢業后在其工作中需要用到數學的約占全部學生的30％，而其余的70％則幾乎用不到任何具體的數學知識．正是基于這樣的分析，波利亞認為：“一個教師，他在教解題時應當教三分之一的數學和三分之二的常識（即指一般性的思想方法或思維模式）．”這就是說，數學學習必須重視數學思想方法．

在分解因式中，整體思想就是一種很值得重視的數學思想．例如，對二次三項式a2－7a－18分解因式后，如果將等式a2－7a－18＝（a－9）（a＋2）中的字母a進行變量變換，即將a變為x2，得x4－7x2－18＝（x2－9）（x2＋2）；將a變為x2－3x，得（x2－3x）2－7（x2－3x）－18＝（x2－3x－9）（x2－3x＋2）．通過變元，把字母變成多項式，反過來，如果將某些多項式看做一個字母，就可以利用換元法分解因式．這就體現了整體思想．

有些多項式，表面上看較復雜，若能注意到題中的整體所在，利用整體思想去把握，則能化繁為簡，化難為易．

例1 分解因式：（x2＋x）2－14（x2＋x）＋24．

解析：在整體思想的指導下，我們很快地想到用換元法分解因式，即設x2＋x＝u，則：

原式＝u2－14u＋24＝（u－2）（u－12）＝（x2＋x－2）（x2＋x－12）

＝（x＋2）（x－1）（x＋4）（x－3）．

例2 分解因式：（x2－3x＋2）（x2－3x－4）－72．

解析：在整體思想的指導下，我們也很容易地得到以下的幾種解題方案．

方案1：將x2－3x看做一個整體，原式＝（x2－3x）2－2（x2－3x）－80＝（x2－3x－10）（x2－3x＋8）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．

方案2：將x2－3x＋2看做一個整體，原式＝（x2－3x＋2）2－6（x2－3x＋2）－72＝（x2－3x＋2－12）（x2－3x＋2＋6）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．

方案3：將x2－3x－4看做一個整體，原式＝（x2－3x－4＋6）（x2－3x－4）－72＝（x2－3x－4）2＋6（x2－3x－4）－72＝（x2－3x－4＋12）（x2－3x－4－6）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．

以上兩例，正是由于整體思想，使得繁與簡、新與舊達到和諧的統一．

數學問題的相似性是普遍存在的．根據多項式與多項式之間的異同點，抓住其本質特征，運用類比思想去處理，則能將生疏的問題轉化為熟悉的問題．

例3 分解因式：（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）＋15．

解析：可將乘積（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）轉化為兩個二次三項式（并且它們的一次項和二次項相同）的乘積．明確了解題的方向，再觀察系數特點，就會發現（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）＋15＝（x2＋8x＋7）（x2＋8x＋15）＋15，從而轉化為已解過的問題，利用整體思想不難加以解決，具體分解略．

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