不等式（組）思想方法全頻道

劉　力

數學思想方法是數學的靈魂．它來源于數學知識之中，反過來又能指導學生解決實際問題．因此，在復習過程中應重視數學思想方法的歸納與總結．現將涉及不等式與不等式組的主要數學思想方法歸納總結如下．

一、類比思想

類比思想是學習數學知識時常用的數學思想方法．類比相關的舊知識去學習新概念，會讓新知識學得更容易、更輕松，理解更透徹．在不等式的學習中會多次運用類比的思想方法，如：由等式的基本性質類比不等式的基本性質；由一元一次方程的定義及解法類比一元一次不等式的定義及解法；由列一元一次方程解實際應用問題類比列一元一次不等式（組）解實際應用問題．

二、數形結合思想

在確定不等式或不等式組的解集時，利用數軸來表示解集，這一過程是將數量不等關系圖形化，是 “數”與“形”的巧妙結合．

例1 （2007年·武漢）如圖，在數軸上分別表示了某不等式組中的兩個不等式的解集，則該不等式組的解集為（）．

A． x＜4 B． x＜2 C． 2＜x＜4 D． x＞2

解析：發揮數軸的作用，由圖可知兩個不等式的解集分別是x＜2和x＜4，所以該不等式組的解集是x＜2．選B．

說明：本題的求解關鍵是及時地將“形”轉化為“數”．

三、建模思想

例2 暑假期間，小張一家自駕汽車外出旅游，計劃每天行駛相同的路程.如果汽車每天行駛的路程比原計劃多19 km，那么8天內它的行程就超過2 200 km；如果每天行駛的路程比原計劃少12 km，那么它行駛前面8天行駛的路程需要9天多的時間．求原來計劃每天行駛路程的范圍．

解析：設原計劃每天行駛x km，則根據題意，得

8（x＋19）＞2 200，

8（x＋19）＞9（x－12）．解得x＞256，

x＜260．

所以，原來計劃每天行駛路程的范圍是大于256 km且小于260 km．

說明：此題是一道實際應用問題，可建立不等式組模型來解．由于實際意義的限制，求出的結果必須合理．

四、分類思想

例3 2007年某縣籌備20周年縣慶．園林部門決定利用現有的3 490盆甲種花卉和2 950盆乙種花卉，搭配A、B兩種園藝造型共50個，擺放在迎賓大道兩側．已知搭配一個A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆；搭配一個B種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆．

（1）某校九年級（1）班課外活動小組承接了園藝造型搭配方案的設計，那么，符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設計出來．

（2）若搭配一個A種造型的成本是800元，搭配一個B種造型的成本是960元，試說明（1）中哪種方案成本最低．最低成本是多少元？

解析：（1）設搭配A種造型x個，則B種造型為（50－x）個，則根據題意，得80x＋50（50－x）≤3 490，

40x＋90（50－x）≤2 950．解這個不等式組，得x≤33，

x≥31．即31≤x≤33．

因為x是整數，所以x可取31，32，33．所以可設計三種搭配方案：①A種園藝造型31個，B種園藝造型19個；②A種園藝造型32個，B種園藝造型18個；③A種園藝造型33個，B種園藝造型17個．

（2）方法一：由于B種造型的成本高于A種造型成本．所以B種造型越少，成本越低，故選擇方案③成本最低，最低成本為33×800＋17×960＝42 720（元）；方法二：分別計算每種方案的成本，比較可知方案③成本最低，最低成本為42 720元．

說明：本題實際上是利用不等式來設計方案，進行決策．這類不等式決策型試題在中考中“熱”的程度，堪與函數知識方面的試題相比．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文