逆用不等式解集

湯　慧

在中考或平時練習中，同學們經常遇到已知不等式（組）的解集，求不等式中字母的值或取值范圍的題目．很多同學對此類題束手無策，原因主要是對不等式的解集理解不清．下面給同學們介紹三種行之有效的解法．

一、解集對照法

例1如果關于x的不等式（a－1）x＞a－1的解集是x＜1，那么a的取值范圍是（）.

A． a≤1B． a＞1C． a＜1D． a＜0

解析：觀察發現，解集不等號與原不等式的不等號方向不同，這意味著不等式兩邊同時除以了一個負數．由此可判斷a－1＜0，所以a＜1．選C．

例2 關于x的不等式組x＋2a＞4，

2x－b＜5的解集是0＜x＜2，那么a＋b的值等于．

分析：要求a、b的值，必須建立關于a、b的方程組．分析給出的不等式組及解集，可將a、b看成已知數，求出不等式組的解集后，與已知的解集進行對照，從而建立關于a、b的方程組，即可求出a、b的值．

解：由第一個不等式得x＞4－2a，由第二個不等式得x＜．當4－2a＜時，原不等式組的解集為4－2a＜x＜．而已知原不等式組的解集為0＜x＜2，所以必有4－2a＝0，

＝2．解得a＝2，

b＝－1．所以a＋b＝1．

二、數形結合法

例3已知關于x的不等式組30x－a≥0，

8x－a＜0的整數解僅為1、2、3，求整數a的值．

分析：先求出原不等式組的解集，再利用數軸就能直觀地得出a所滿足的不等式．解這個不等式即可確定a的取值范圍，進而確定整數a的值．

解：解不等式組得≤x＜．在數軸上畫出這個不等式組的解集的可能區間，如圖1．觀察圖1不難發現，a的取值滿足不等式組0＜

≤1，

3＜

≤4．解得24＜a≤30．所以整數a的值為25、26、27、28、29、30．

例4已知關于x的不等式組x－3（x－2）≤4，

＞x無解，求a的取值范圍．

分析：不等式組的解集是不等式中各個不等式的解集的公共部分，而無解的含義就是各個不等式的解集無公共部分．先在數軸上畫出不等式組中每個不等式的解集，再結合數軸進行討論．

解：將原不等式組化為x≥1，

x＜a ．因為不等式組無解，所以兩解集x≥1與x＜a在數軸上表示時無公共部分（如圖2）．觀察數軸可知a＜1，當a＝1時，兩解集也無公共部分．所以a≤1．

點評：數形結合是數學中的重要思想．所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決問題的數學思想．利用數軸來解決與不等式（組）有關的問題，往往可起到化難為易、化繁為簡的作用．

三、分類討論法

例5已知關于x的不等式組x－a≥0，

3－2x＞－1的整數解共有5個，求a的取值范圍．

分析：解原不等式組得a≤x＜2．因不等式組有5個整數解，由整數解的意義可知這些整數解應為1、0、－1、－2、－3．先確定a的大致范圍，再通過分類討論即可求出a的取值范圍

解：根據以上分析可知，a的取值在－4與－3之間，因而a的取值有三種情況：

（1）當a＝－3時，原不等式組的解集為－3≤x＜2，其整數解恰有5個，符合題意；

（2）當a＝－4時，原不等式組的解集為－4≤x＜2，其整數解有6個，不符合題意；

（3）當－4＜a＜－3時，原不等式組的整數解有5個，符合題意．

綜上可知，a的取值范圍為－4＜a≤－3．

點評：分類討論也是一種重要的數學思想方法．所謂分類討論，就是當一個數學問題用統一的方法不能繼續解下去的時候，將研究的問題分成若干類情況進行研究的思想方法．分類要以事物某種特征為標準，并且分類要做到不重不漏．要使被分類的對象中每一對象都能歸入某一類，不能無類可歸（不漏）；并且每一對象不能既可歸入甲類，又可歸入乙類，即只能歸入一類（不重）．

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