利用分解因式判定三角形形狀

陳國玉

給出三角形三條邊的某種關系，判斷三角形的形狀，這類題中考中很常見．此類題是對同學們綜合運用分解因式和幾何知識能力的考查．解決此類問題的基本方法是：將已知等式的右邊化為0，左邊分解為幾個因式的乘積，即將已知等式化為ab＝0的形式，然后根據a＝0或b＝0來確定三角形的形狀．下面舉例說明．

例1已知是a、b、c是△ABC的三邊長，當b2＋2ab＝c2＋2ac時，試判斷△ABC的形狀．

分析：將已知等式b2＋2ab＝c2＋2ac的兩邊都加上a2，使等邊的左右兩邊都成為完全平方式，再將右邊的移到左邊，利用平方差公式進一步分解即可．

解： ∵ b2＋2ab＝c2＋2ac，∴ b2＋2ab＋a2＝c2＋2ac＋a2．

即（a＋b）2＝（a＋c）2．

移項，得（a＋b）2－（a＋c）2＝0．

利用平方差公式分解，得［（a＋b）＋（a＋c）］［（a＋b）－（a＋c）］＝0．

即（2a＋b＋c）（b－c）＝0．

∵ 2a＋b＋c≠0，∴ b－c＝0． b＝c．

所以△ABC是等腰三角形．

例2已知a、b、c是△ABC的三邊長，且a4－b4＝a2c2－b2c2，試判斷△ABC的形狀．

分析： 將等式a4－b4＝a2c2－b2c2的兩邊分別分解因式，然后將右邊的移到左邊，再用提公因式法分解即可．

解： ∵ a4－b4＝a2c2－b2c2，∴ （a2＋b2）（a2－b2）＝c2（a2－b2）．

即（a2＋b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）＝0．

∴ （a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0．

當a2－b2＝0時，得a＝b，△ABC是等腰三角形．

當a2＋b2－c2＝0時，得a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．

所以，△ABC是等腰三角形或直角三角形．

例3已知某三角形的三邊長分別為a、b、c，且滿足a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，請判斷此三角形的形狀．

分析：將等式的左邊化成三個完全平方式的和，再利用非負數的性質即可判斷．

解：把等式a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0的兩邊都乘以2，得

2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0．（a2－2ab＋b2）＋（a2－2ac＋c2）＋（b2－2bc＋c2）＝0．

∴（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2＝0．

∵（a－b）2≥0，（a－c）2≥0，（b－c）2≥0，

∴a－b＝0，a－c＝0，b－c＝0．即a＝b＝c．

所以此三角形是等邊三角形．

<\192.168.0.129本地磁盤 (d)王玲霞數據八年級數學北師大08年1-2期版式+圖jjgg.TIF>[練習]

1． 已知三角形的三邊a、b、c滿足a2b－a2c＋b2c－b3＝0，則這個三角形是三角形．

2． 已知a、b、c為某三角形的三邊長，且滿足a2＋ab－ac－bc＝0，b2＋bc－ab－ca＝0，則這個三角形的形狀是（）．

A． 等腰三角形（但三邊不全等） B． 直角三角形

C． 等邊三角形 D． 等邊三角形或直角三角形

3． 已知△ABC三邊長a、b、c滿足3（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2，請判斷△ABC的形狀．

參考答……