利用提公因式法解題

劉學杰

提公因式法是分解因式的“專利”嗎？不是的！對其他許多數學題，若能根據題目的特點，靈活運用提公因式法，往往會收到意想不到的效果.現舉例說明.

[一][利用提公因式法簡化計算]

例1計算：0.124×255+36.5×1.24-12.4×2.75+0.124×655.

分析：如果分別運算，顯然有一定的難度.但四個乘積中都可以尋找到0.124的“倍數”，所以可以將0.124提出，或許可以簡化運算.

解：原式=0.124×（255+365-275+655）=0.124×1 000=124.

說明：通過對本題的求解可以看出，提取了公因數，不但大大降低了運算難度，而且快速準確.

[二][利用提公因式法比較大小]

例2已知a=-，b=-，c=-，試用不等號將a、b、c連接起來.

分析：如果分別求出a、b、c，顯然不易完成.考慮到有關數據較大，可以采用作差法，或許通過提取公因數能夠簡化運算.

解：a-b=-+=×

-.

因為>1，＜1，所以a-b>0，a>b.同理可得b-c>0，b>c.所以a>b>c.

說明：通過分析數字特點，巧妙地作差，然后提取公因數，大大降低了運算的難度.

[三][利用提公因式法求值]

例3已知a=2 005x+2 006，b=2 005x+2 007，c=2 005x+2 008，試求代數式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.

分析：若要先求出a、b、c的值，則肯定無法辦到.但是，要求的代數式通過分組后有公因式可提取，同時已知條件兩兩相減也可以得到a-b、b-c和c-a的值，從而可以較方便地求解.

解：因為a=2 005x+2 006，b=2 005x+2 007，c=2 005x+2 008，所以a-b=-1，b-c=-1，c-a=2.

∴a2+b2+c2-ab-bc-ca

=（a2-ab）+（b2-bc）+（c2-ca）

=a（a-b）+b（b-c）+c（c-a）

=-a-b+2c

=（c-a）-（b-c）

=3.

說明：本題也可通過a2+b2+c2-ab-bc-ca=［（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2］求解.

[四][利用提公因式法幫助說理]

例47204-5×7203+3×7202能被17整除嗎？說說你的理由.

分析：能不能被17整除，關鍵是看是否含有因數17，因此可以采用分解因數的方法.原式中三項的公因數是7202，可將各項中的7202提出，以尋求解法.

解：7204-5×7203+3×7202能被17整除，因為7204-5×7203+3×7202=72×7202-5×7×7202+3×7202=7202（72-5×7+3）=7202×17.

說明：看一個多項式形式表示的數能否被某個數整除，通常采用分解因數的方法.這類題目一般技巧性強，要多在審題上下些功夫.

<\192.168.0.129本地磁盤 (d)王玲霞數據八年級數學北師大08年1-2期版式+圖jjgg.TIF>[練習]

1. 計算：2.854×4.362-4.362×1.8-0.054×4.362.

2. 對于任意自然數n，2-2n能被15整除嗎？為什么？

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