分解因式有“口訣”

李其明

分解因式時，可根據多項式的形式和特點，采用不同的方法，有時幾種方法需要聯合使用或循環使用．為了能靈活使用分解因式的方法，請同學們記住如下“口訣”：首先提取公因式，然后考慮用公式；十字相乘試一試，分組分解要合適；四種方法反復試，結果必是連乘式．

一、 首先提取公因式

提取公因式是乘法分配律的逆變形．

例1分解因式：

（1）x2y（x－y）－xy2（y－x）；（2）3a2nb2m－6anb2m＋1．

解：（1）原式＝x2y（x－y）＋xy2（x－y）＝xy（x－y）（x＋y）．

（2）原式＝3anb2m（an－2b）．

點評：原式各項提取公因式后，剩余的項容易寫錯．它等于原有各項除以提出的公因式后所得商式．

二、 然后考慮用公式

分解因式的公式，有時可以直接應用，有時則要根據多項式的特點，把各項變形、整理后再應用．公式里的字母可以是一個數，也可以是一個單項式或多項式，因此，應用公式法的關鍵是掌握公式特點．

例2分解因式：a6－b6．

解：原式＝（64a6－b6）

＝（8a3＋b3）（8a3－b3）

＝（2a＋b）（4a2－2ab＋b2）（2a－b）（4a2＋2ab＋b2）．

點評：注意要分解到不可分解為止．若有分數系數，最好先提出分數，使多項式系數都變為整數．

三、 十字相乘試一試

十字相乘法，一般適用于二次三項式的分解因式．有些較復雜的多項式，經過整理化為二次三項式的形式，也可以運用此法．

例3分解因式：

（1）6a2－ab－2b2；

（2）2（a－b）2－（a－b）－6．

解：（1）[2 b

3 －2b]

原式＝（2a＋b）（3a－2b）．

（2）[1 －2

2 3]

原式＝［（a－b）－2］［2（a－b）＋3］

＝（a－b－2）（2a－2b＋3）．

點評：（1）題中要將其中一個字母（如b）看成系數，再用十字相乘法．（2）題中要把a－b看成一個字母．

四、 分組分解要合適

分組分解法必須配合以上各法，才能有效．在多項式項數多，無法用公式法時，可考慮先分組．但分組不是盲目進行的，要通過分組能提取公因式或利用公式法等．

例4 分解因式：

（1）a2－b2＋2bc－c2；

（2）x3－3x2－4x＋12．

解：（1）原式＝a2－（b2－2bc＋c2）＝a2－（b－c）2＝（a＋b－c）（a－b＋c）．

（2）原式＝（x3－3x2）－（4x－12）＝x2（x－3）－4（x－3）＝（x－3）（x2－4）

＝（x－3）（x＋2）（x－2）．

點評：分組分解，若是分組不當，分解將無法進行．如（1）題有的同學這樣分組（a2－b2）＋（2bc－c2）＝（a＋b）（a－b）＋c（2b－c），分解就無法進行了．

五、 四種方法反復試，結果必是連乘式

有時分解因式需要四種方法反復運用，才能分解到底．

例5 分解因式：－2x（x2－y2＋z2）2＋8x3z2．

解：首先提取公因式，然后考慮用公式，最后考慮分組分解法．

原式＝－2x［（x2－y2＋z2）2－4x2z2］＝－2x（x2－y2＋z2＋2xz）（x2－y2＋z2－2xz）

＝－2x［（x＋z）2－y2］［（x－z）2－y2］＝－2x（x＋y＋z）（x－y＋z）（x－z＋y）（x－z－y）．

點評：分解因式的最終結果必須是幾個因式乘積的形式．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文