分類思想在初中數學教學中的滲透

陳大寧

數學分類思想，就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想，它既是一種重要的數學思想，又是一種重要的數學邏輯方法，它貫穿于整個中學數學的全部內容中．就其引起分類的原因，可歸結為：①涉及的數學概念是分類定義的；②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；③求解的數學問題的結論有多種多種可能的；④數學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結果的．應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化，使學生更易于掌握系統的數學知識．

一、滲透分類思想，養成分類的意識

每個學生在日常生活中都具有一定的分類知識，如動植的分類、物品的分類等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的分類遷移

到數學中來，在教學中進行數學分類思想的滲透．如數的分類，絕對值的意義，不等式的性質等，都是滲透分類思想的很好機會．

教授完負數、有理數的概念后，及時引導學生對有理數進行分類，讓學生了解到對不同的標準，有理數有不同的分類方法．如：

認識數a可表示任意數后，讓學生對數a進行分類，得出正數、零、負數三類．

結合“有理數”這一章的教學，反復滲透，強化數學分類思想，使學生逐步形成數學學習中的分類的意識．并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現遺漏、重復等錯誤．如把有理數分為：正數、負數、整數，就是犯分類標準不一的錯誤．在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，不越級討論．

二、學習分類方法，增強思維的縝密性

在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解，所謂分類就是選取適當的標準，根據對象的屬性，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答．掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關鍵所在．

初中階段數學分類的方法常有以下幾種：

1．根據數學的概念進行分類

有些數學概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類．

如：化簡｜x-2｜.

解：根據絕對值的概念，可分為三種情況進行討論．

當x-2＞0，即x＞2時，原式=x-2．

當x-2=0，即x=2時，原式=0．

當x-2＜0，即x＜2時，原式=2-x．

2．根據數學的法則、性質或特殊規定進行分類

如：解關于x的不等式：ax+3＞2x+a.

解：不等式可化為(a-2)x＞a-3.

當a-2＞0，即a＞2時，不等式的解是x＞(ａ-3)/(ａ-2)．

當a-2=0，即a=2時，不等式的左邊=0，不等式的右邊=-1，不等式恒成立，所以不等式的解是一切實數．

當a-2＜0，即a＜2時，不等式的解是x＜(ａ-3)/(ａ-2)．

3．根據圖形的特征或相互間的關系進行分類

如：三角形按角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；按邊分類有斜三角形、等腰三角形；直線和圓根據直線與圓的交點個數可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交．

三、引導分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，在教授這些內容時，應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的.

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數式或函數或方程中，根據字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內討論解決問題．其二是根據幾何圖形的點和線出現不同位置的情況，逐一討論解決問題．

如：已知函數y=(m-1)x²+(m-2)x-1(m是實數)．

如果函數的圖象和x軸只有一個交點，求m的值．

分析：這里從函數分類的角度討論，分m-1=0和m-1≠0兩種情況來研究解決問題．

解：

當m-1=0，即m＝1時，函數就是一個一次函數y=-x-1，它與x軸只有一個交點(-1，0)．

當m-1≠0，即m≠1時，函數就是一個二次函數y=(m-1)x²+(m-2)x-1．

當Δ=(m-2)²+4(m-1)=0，得m=0．

此時拋物線y＝-ｘ²-2x-1的頂點(-1，0)在x軸上．

由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變得簡單．另一方面，在討論當中，可以激發學生學習數學的興趣．