數(shù)學(xué)思想在幾何中的滲透

周海蓮

在初中幾何計(jì)算里，求三角形的邊、角、周長(zhǎng)、多邊形的邊數(shù)等，都滲透著不少數(shù)學(xué)思想.

一、化歸思想

將所要研究和解決的問(wèn)題能轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的問(wèn)題來(lái)處理的數(shù)學(xué)思想稱為化歸思想，它是一種研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想，如在求多邊形的內(nèi)角和基本思路是將多邊形分割成三角形的內(nèi)角和來(lái)求多邊形的內(nèi)角和.

下面通過(guò)五邊形的內(nèi)角和演繹出推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和的方法.

【例1】 如圖，小穎和小芳分別利用圖①、②所示的兩種不同方法求出五邊的內(nèi)角和，請(qǐng)你在圖③中用另一種方法求五邊形的內(nèi)角和，并寫出求解過(guò)程.

解析：解法一：在一邊(AB)上取一點(diǎn)P，連接PC、PD、PE，它們將五邊形分成4個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于4個(gè)三角形的內(nèi)角和減去一個(gè)頂點(diǎn)在AB邊上組成的平角，即4×180°-180°=540°.

解法二：連接AC，在AC上任取一點(diǎn)P，連接PD、PE.它們將五邊形分成4個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于4個(gè)三角形的內(nèi)角和減去一個(gè)三個(gè)頂點(diǎn)在AC上組成的平角.即4×180°-180°=540°.

解法三：在AB上任取一點(diǎn)P，連接EP并延長(zhǎng)對(duì)角線DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，它們將五邊形分成3個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于3個(gè)三角形的內(nèi)角和減去多加的∠O和∠APE，又加上少加的∠DBP.而∠DBP恰好是△OBP的外角，所以，而∠BPO=∠APE(對(duì)頂角相等)所以∠DBP=∠O+∠APE，所以五邊形的內(nèi)角和等于3個(gè)三角形內(nèi)角和，即

3×180°=540°.

二、分類思想

在三角形三邊之間的關(guān)系中，已知等腰三角形的兩邊求周長(zhǎng)或已知周長(zhǎng)求另外兩邊，滲透分類討論思想.

【例2】 已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為7，另一邊長(zhǎng)為3，求等腰三角形的周長(zhǎng).

分析：邊長(zhǎng)為7的邊可以為腰，也可以為底邊，故需要分類討論.

解析：邊長(zhǎng)為7的邊可以為腰，也可以為底邊，

若邊長(zhǎng)為7的邊為腰，邊長(zhǎng)為3的邊為底邊三角形的周長(zhǎng)為：7×2+3=13.

若邊長(zhǎng)為7的邊為底邊，邊長(zhǎng)為3的邊為腰，而3+3=6<7．故腰為3，底的等腰三角形不存在，所以三角形的周長(zhǎng)為13．

三、方程思想

在幾何的計(jì)算中，求三角形的角，多邊形的邊數(shù)，往往通過(guò)已知量和未知量的聯(lián)系建立起方程，通過(guò)解方程求出三角形未知的角和多邊形的邊數(shù).

【例3】 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶7，試判斷這個(gè)三角形是什么三角形?

分析：已知條件中給出的是角之間的關(guān)系，并沒(méi)有具體給出角的度數(shù)，可借助方程來(lái)求角，由于只判斷三角形的形狀，不需要求出每個(gè)角的大小，只要求出最大的角就可以判斷三角形的形狀了.

解析：設(shè)∠A=x，∠B=2x，∠C=7x.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得x+2x+7x=180°,x=18°.

∠C=7x=7×18°=126°.

所以△ABC是鈍角三角形.

【例4】 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的5倍少180°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

分析：因?yàn)槿我舛噙呅蔚耐饨呛偷扔?60°,則這個(gè)多邊形內(nèi)角和為5×360°-180°，利用多邊形的內(nèi)角和公式，結(jié)合問(wèn)題中的相等關(guān)系，可得方程進(jìn)行求解.

解析：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則它的內(nèi)角和是(n-2)?180°，外角和是360°，根據(jù)題意列得方程(n-2)?180°=5×360°-180°,解得n=11.