甘芝活
數學研究的對象是數量關系和空間形式,即“形”與“數”兩個方面.“形”與“數”兩者之間并不是孤立的,而是有著密切的聯系.在一維空間,實數與數軸上的點建立了一一對應的關系,在二維空間,實數對與坐標平面上的點建立了一一對應的關系,進而可以使函數解析式與函數圖象、方程與曲線建立起一一對應的關系,使得數量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究;反之,也可以使圖形性質的研究轉化為數量關系的研究.這種數學問題過程中“形”與“數”相互轉化的研究策略,即是數形結合的思想.在使用過程中,由“形”到“數”的轉化,往往比較明顯,而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識,因此,數形結合思想的使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化.所以,本文著重于“數”到“形”的轉化及應用,擬從以下六個具體方面展開:1.在研究集合關系中的應用;2.在研究函數的性質中的應用;3.在研究不等式中的應用;4.在研究解析幾何中的應用;5.在研究方程的根的應用;6.在研究平面向量中的應用.
一、數形結合思想在研究集合關系中的應用
集合是現代數學的一個重要概念,是現代數學的基礎,在研究集合時,可以用數軸、韋恩圖等表示集合,正是在這種條件下,使得我們在研究集合時,可以用數形結合的思想解決有關的問題.
【例1】 巳知A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3},且A∪B=R,求a的取值范圍.
分析:本題宜對集合A,B進行化簡,然后,借助數軸的直觀,再將問題轉化即可獲解.
解:A={x|a-4