數形結合思想及其應用

甘芝活

數學研究的對象是數量關系和空間形式，即“形”與“數”兩個方面.“形”與“數”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯系.在一維空間，實數與數軸上的點建立了一一對應的關系，在二維空間，實數對與坐標平面上的點建立了一一對應的關系，進而可以使函數解析式與函數圖象、方程與曲線建立起一一對應的關系，使得數量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究；反之，也可以使圖形性質的研究轉化為數量關系的研究.這種數學問題過程中“形”與“數”相互轉化的研究策略，即是數形結合的思想.在使用過程中，由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識，因此，數形結合思想的使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化.所以，本文著重于“數”到“形”的轉化及應用，擬從以下六個具體方面展開：1.在研究集合關系中的應用；2．在研究函數的性質中的應用；3．在研究不等式中的應用；4．在研究解析幾何中的應用；5.在研究方程的根的應用；6.在研究平面向量中的應用.

一、數形結合思想在研究集合關系中的應用

集合是現代數學的一個重要概念，是現代數學的基礎，在研究集合時，可以用數軸、韋恩圖等表示集合，正是在這種條件下，使得我們在研究集合時，可以用數形結合的思想解決有關的問題.

【例1】 巳知A={x｜｜x-a｜<4},B={x｜｜x-2｜>3}，且A∪B=R，求a的取值范圍.

分析：本題宜對集合A，B進行化簡，然后，借助數軸的直觀，再將問題轉化即可獲解.

解：A={x｜a-45},欲使A∪B=R，作一數軸如圖1所示：