力學中三個疑難問題解析

布永利

一、靜摩擦、滑動摩擦和滾動摩擦的區別

中學課本上談到的摩擦有三種：靜摩擦、滑動摩擦和滾動摩擦，但靜摩擦和滑動摩擦分別對應靜摩擦力和滑動摩擦力，而滾動摩擦沒有“滾動摩擦力”這個概念，這是為什么？靜摩擦、滑動摩擦和滾動摩擦有什么區別呢？

筆者的理解如下：

如圖1，靜摩擦其實是“同對同”的情況，即兩個物體的接觸面都保持不變．

如圖2，滑動摩擦其實是“同對不同”的情況，即物體在滑動過程中，其中一個物體的接觸面是不變的，而另一個物體的接觸面在時刻變化．

如圖3，滾動摩擦其實是“不同對不同”的情況，亦即在滾動過程中，兩個物體的接觸面都是變化的．

從力的分類來說，摩擦力分為靜摩擦力和滑動摩擦力，沒有滾動摩擦力.對物體的滾動（無滑滾動）起阻礙作用的是力矩而不是力.阻力矩是由于小球與支承面的形變和運動情況產生的.這里的形變有四種：支承面和小球都發生形變；支承面形變而小球不發生形變；支承面不發生形變而小球發生形變以及支承面和小球都不發生形變（剛體）.第四種情況（剛體）是不存在的，前三種情況中通常出現的是第一種.

為了便于研究，我們首先討論第二種——支承面形變而小球不發生形變的情況.

小球靜止在水平支承面上時受到的重力G與支持力N在同一豎直線上（圖4甲），當小球向前滾動時，小球向前與前方凸起發生碰撞，支承點前移到P′，受到支承面的作用力增大為N′，N′產生兩個效果，一個是豎直方向的N與G抗衡，一個是靜摩擦力f阻礙小球的滑動（圖4乙）.重力G與豎直方向的支持力N的力偶矩為小球的滾動的阻力矩，設P′偏離重力作用線的距離為δ，則小球滾動的阻力矩為：M阻＝δN．

對于第三種情況——支承面不發生形變而小球發生形變時，設小球的半徑為r、形變角（形變部分的弧所對的圓心角）為2θ（如圖5），則小球滾動的阻力矩為：M阻＝Gｒｓｉｎθ＝δN．

上述結果跟第二種情況結果一樣.可見，盡管第一種情況很復雜，但是由于它介于第二、三種之間，根據“兩邊夾法則”，必定得到相同的結論，即M阻＝δN．

由于力矩M阻對小球的滾動起阻礙作用，相當于作用于球心一個與質心運動方向相反的阻力，這個力就是“滾動摩擦力”，其大小為：ｆ＝M阻/ｒ＝δ/ｒN.

上式中，δ叫滾動摩擦系數，它具有長度的量綱，和接觸面的材料強度、粗糙程度、濕度以及小球滾動速度等因素有關,并可由實驗測出來.

從以上研究可知，一物體在另一物體表面做無滑滾動或有滾動的趨勢時，由于兩物體在接觸部分受壓發生形變而產生的對滾動的阻礙作用，叫“滾動摩擦”.滾動摩擦一般用阻力矩來量度，其力的大小與物體的性質、表面的形狀以及滾動物體的重量有關.滾動摩擦實際上是一種阻礙滾動的力矩.物體滾動時，接觸面一直在變化著，物體所受的摩擦力，稱為“滾動摩擦力”.“滾動摩擦力”跟“慣性力”一樣，不是真正意義上的力，而是相當于作用于質心的阻力.中學物理教材回避了這類問題，現行初中教材中說“以滾動代替滑動可以減小摩擦”，實際上就是將f=δ/r?N與f=μN中的系數δ/r和μ大小比較而言的，并不是比較力的大小.比如，對于“木材－鋼球”，δ在0.03～0.04之間，如果鋼球半徑是2cm，則δ/r的值在0.015~0.02之間，而“木材－鋼塊”間的滑動摩擦系數μ為0.3～0.4，顯然δ/r遠小于μ．

二、驗證動量守恒定律實驗中實驗結果異常的原因分析

按圖6裝置進行這一學生實驗的教學時，發現了異常的實驗現象：實驗結果都是碰后的動量p′大于碰前的動量p，并且相對誤差都大于5％，有些甚至大于10％．可見這里存在一種系統誤差，表面上理解，把被碰小球放在軌道上，由于摩擦，碰后的動量p′應小于碰前的動量ｐ．這種系統誤差是怎樣產生的呢?導致異常的實驗現象的原因何在？

實驗現象的解釋：在斜槽上，入射小球受到重力G、支持力F璑和靜摩擦力F璮作用(如圖7)，做加速滾動而不打滑，小球運動到水平軌道上做勻速滾動，靜摩擦力變為零．小球平動速度v₁、轉動角速度ω和半徑r之間的關系是v₁=ωr．入射小球與被碰小球碰撞后，平均速度突然減小為v′1，而角速度ω不變，這樣就有v₁′<ωr.入射小球與軌道的接觸點相對軌道向后滑動，從而受到軌道對它向前的滑動摩擦力F1作用，如圖8所示．在F1的作用下，入射小球的轉動角速度減小，平動速度增大，動量也增大，這就是兩球組成的系統碰后的動量大于碰撞前的動量原因．