“孔多塞悖論”的解決方法

【摘 要】 社會選擇理論的起源可以追溯到法國數學家、哲學家、社會學家，孔多塞（Condorcet）提出的“Condorcet 悖論”（“孔多塞悖論”）。如何解決“孔多塞悖論”是很多經濟學家、數學家研究的重要問題。本文將“孔多塞悖論”分為兩種情形，系統分析“孔多塞悖論”，指出解決“孔多塞悖論”的主要方法，并研究各種方法的特點。

【關鍵詞】 孔多塞悖論；社會選擇；選擇規則；偏好オ

一、社會選擇與孔多塞悖論

社會選擇是將社會各成員的偏好集結成社會的或群的偏好。社會選擇中需進行價值判斷、比較的對象，叫做備選方案，個體是社會選擇中進行價值判斷、比較，行使選擇權利的主體。在現實中，采用過傳統、獨裁、投票選擇、市場機制等社會選擇方式。其中“傳統”這種社會選擇方法有多種不同形式，例如風俗、習慣、宗教、迷信等。“獨裁”是指由個人或小集團對其他個體進行控制，體現某個人或小集團的意志，例如封建社會的君主即通過獨裁統治國家。現代理性、民主的社會一般采取民主政治與市場經濟相結合的社會選擇方式。

市場機制、投票選舉是典型的社會選擇。在市場經濟中，個體在市場經濟中的選擇通過貨幣來完成，使得資源配置往高效率的方向運行。現代民主制度中，個體體現選擇權利的方式是投票。政治權利配置的特點一般是一人一票，特殊情況下是一人多票。即個體根據其偏好通過選票影響公共決策。此外，社會選擇還涵蓋實際生活中通過各種選擇規則進行的各種決策方式。

社會選擇由來已久，人們通過各種形式進行選擇與被選擇，但社會選擇理論得到經濟學界的重視還是在1951年阿羅（Arrow）提出“Arrow不可能定理”之后。社會選擇理論的起源可以追溯到18 世紀，法國數學家、哲學家、社會學家，孔多塞（Condorcet）提出社會選擇理論中著名的“Condorcet 悖論”（“孔多塞悖論”）：即當備選方案數量大于2，個體數量大于2時，按照相對大多數原則進行選擇，會出現循環（當個體數量為4，備選方案數量為3時不會出現循環），無勝者，（如例1、例2）。相對大多數原則是比較兩個備選方案a和b，如果偏好為a優于b的個體數量多于偏好為b優于a的個體數量則稱社會或群的偏好為a優于b；若二者數量相等，則稱社會或群的偏好為a與b無差異。根據相對大多數原則對備選方案進行兩兩比較，其中在兩兩比較中，能擊敗其他所有對手的備選方案叫做Condorcet勝者。

例1，“孔多塞悖論”第一種情形（將個體分為幾組，每組個體數量相等）：假定有三組個體，每組均為1人，分別為甲、乙、丙，三個備選方案依次為A、B、C。甲的偏好順序為：A ﹥ B ﹥ C；乙的偏好順序為：B ﹥ C ﹥ A；丙的偏好順序為：C ﹥ A ﹥ B。其中“﹥”表示優于。在此例中，根據相對大多數原則，最終群的偏好為A﹥B﹥C﹥A 出現了循環，無勝者。這意味著群偏好不總是可傳遞的（傳遞性：若a ﹥b，b ﹥c則a ﹥c）。

例2，“孔多塞悖論”第二種情形（將個體分為幾組，每組個體數量不等）：將個體分成三組，每組個體數量分別為4人，3人，2人。三個備選方案依次分別為A、B、C。第一組：共4人的偏好順序為：A ﹥ B ﹥ C；第二組：共3人的偏好順序為：B ﹥ C ﹥ A；第三組：共2人的偏好順序為：C ﹥ A ﹥ B。根據相對大多數原則，最終群的偏好為A ﹥B﹥C﹥A 出現了循環，無勝者。這兩種情形相比，第一種情形出現的可能性更小些。

二、解決孔多塞悖論的方法分析

1、針對“孔多塞悖論”的第一種情形

第一種解決“孔多塞悖論”的方法是通過傳統習慣解決，即當出現無勝者情況時，最終通過抽簽決定勝者，讓偶然性來決定。這樣，無論勝者、敗者都不得不接受結果，敗者只能歸因于自己的運氣不好。

第二種解決“孔多塞悖論”的方法是按照修正案規則進行選擇。修正案規則（amendment）是在進行選擇之前，預先確定一套議程，即備選方案的投票順序，如x1，x2，…，x璶。選擇過程是：在第一輪表決中，對方案x1，x2進行選擇，勝者進入下一輪與x3，進行表決；…；在第i（i>1）輪表決中，對第i-1輪表決中的勝者與x﹊+1進行選擇，勝者進入第i+1輪表決；直到第n-1輪表決，此時的勝者為最后的選擇結果。

第三種解決“孔多塞悖論”的方法是限制個體偏好的定義域。“孔多塞悖論”出現的前提條件之一是假定無限制定義域即個體任何偏好排序都是允許的。為了避免社會或群的偏好出現循環，其中比較著名的限制個體偏好定義域的方法是Black提出的單峰定理。單峰定理是如果個體偏好是單峰的，并且個體的數量是奇數，那么根據相對大多數原則進行選擇滿足可傳遞性。

單峰偏好的定義：設n個個體的偏好排序函數是U1（X），…，Un（X），Ui（X）（i=1，…，n）定義在可供選擇的社會狀態的集合S上，那么在二維平面上，若將S標在橫軸上，將Ui（X）（i=1，…，n）標在縱軸上，則至少存在S的一種排列，使得Ui（X）的幾何圖形均有一個高峰。即在個人的偏好次序中，只有一項備選方案的偏好程度最高，其它方案的偏好程度依次遞減。如果沒有依次遞減，偏好曲線先降后升，出現了兩個頂峰，被稱為“雙峰偏好”。如例1，若備選方案議程為A，B，C，甲的偏好次序為A﹥B﹥C，乙的偏好次序為B﹥C﹥A，丙的偏好次序為C﹥A﹥B，曲線圖上顯示甲、乙的偏好為單峰的，丙的偏好則是雙峰的。如果丙的偏好改為單峰的，即C﹥B﹥A，進行選擇，“循環”被消除。

單峰定理表明，在單峰型的偏好結構中，根據相對大多數原則進行選擇，不會出現“孔多塞悖論”，投票悖論出現的可能性比較小，因為在大多數情況下，個人的偏好結構會呈現出單峰形。如例3。

例3，假定A，B，C三個政黨，Ａ代表極左派政黨，Ｂ代表中間派政黨，Ｃ代表極右派政黨，一般地，C﹥A﹥B的個人偏好順序出現的可能性很小，因為絕大多數人不會認為極右派政黨比極左派政黨好，又認為極左派政黨比中間派政黨好。

若備選方案的數量為3個時，單峰偏好可以解釋為，若備選方案為a，b，c，任何個體偏好的排序中，某個方案不會出現在最后一位，如例3，方案B不會出現在最后一位。

比單峰偏好更一般的限制定義域的約束條件是Sen和Pattanaik提出的位次限制條件。位次限制指在備選方案中，任何三個方案中存在某個方案x璱和某個次序j，任何個體對這三個方案的偏好排序時，x璱不會被排在j位。例如備選方案的數量為3個時，位次限制條件可以解釋為，如果備選方案為a，b，c，那么任何個體偏好的排序中，某個方案不會出現在第一位，或第二位，或最后一位。位次限制定理即為當個體偏好排序滿足位次限制條件時，社會或群的偏好滿足可傳遞性。

（二）針對“孔多塞悖論”的第二種情形

首先，是由孔多塞提出的孔多塞連續逆轉方法。即尋找獲得半數以上票數最少的備選方案，而后將其和對手的結果顛倒，如果循環消除則選擇出結果，如果循環仍然存在，則需繼續尋找獲得半數以上票數最少的備選方案，將其和對手的結果顛倒，直到循環消除為止。如例2，獲得半數以上票數最少的備選方案是C。根據孔多塞連續逆轉方法，將其和對手A的結果顛倒，即將C ﹥A，顛倒為A ﹥C，則最終選擇結果為A ﹥B﹥C，循環消除。其次，根據分數定義的規則可以解決“孔多塞悖論”的第二種情形。如簡單多數原則、逆簡單多數原則，Borda原則，其中Borda原則更為科學。再次，多輪淘汰選擇的規則可以解決“孔多塞悖論”。如簡單多數加賽原則、Hare原則、Coombs 原則、Nanson原則。最后，Dodgson 原則可以解決“孔多塞悖論”。

三、結論

解決“孔多塞悖論”的方法除了第一種方法和第二種方法外，都對前提條件進行了修改。第一種方法，抽簽決定，雖然可以很好地解決這一矛盾，但不夠科學。第二種方法，根據修正案規則，預先確定的議程很重要，影響最終選擇結果，后出現的備選方案占有優勢。因此，運用這一規則在研究確定議程時需要較長時間。當存在“孔多塞悖論”，可以通過對議程的安排，讓任何一個備選方案當選。如例1和例2，若想操縱A勝出，就安排B和C先表決，B勝出后，與A比，A將其打敗，最后獲勝。第三種方法，限制個體偏好的定義域解決了“孔多塞悖論”，但卻違背了個體任何偏好都是可能的前提。針對“孔多塞悖論”的第二種情形，解決“孔多塞悖論”的方法的共同之處在于都違背了相對大多數原則。

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肖江波，（1977-）女，漢，遼寧鞍山人，法國Caen大學經濟學碩士，現為甘肅政法學院講師，研究方向為社會選擇理論、勞動經濟學．