分式新題連連看

張正平　許生友

分式是中考的必考內容.近年來，有關分式問題的創新型題目精彩紛呈，令人目不暇接.它的背景更豐富、更貼近學生的生活實際.為幫助同學們熟悉新題型，迎接新挑戰，本文特采擷部分新型中考題并加以精析，供同學們參考.

1 求值開放型

例1 （2008年四川省宜賓市）請先將下式化簡,再選擇一個你喜歡又使原式有意義的數代入求值.

(aa-1-1)÷1a2-2a+1.

分析 這類題原本是化簡求值題，但一改往常形式，給了我們“自主”的空間，解它時，一是按常規化簡，二是在取值時既要注意使運算更簡單，同時又要考慮到“隱含條件”的約束（a取不等于1的其它值）.

解 原式=a-a+1a-1?(a-1)2=a-1.

點評 這類問題的答案往往不惟一，主要考查分式有意義的條件，分式的四則混合運算.對字母自主取值體現了對考生的人文關懷，又考查了學生思維的縝密性.

2 情景型

例2 (2008年江蘇省揚州市)課堂上，李老師出了這樣一道題：

已知x=2008-53，求代數式x2-2x+1x2-1÷(1+x-3x+1)的值.

小明覺得直接代入計算太繁了，請你來幫他解決，并寫出具體過程.

分析 正如題中小明一樣，初看此題時，確實有點“怯題”，但只要將待求式化簡后，發現結果是一個常數，根本與x的值無關.

解 原式=(x-1)2(x-1)(x+1)÷(x+1x+1+x-3x+1)=x-1x+1÷2(x-1)x+1

=x-1x+1×x+12(x-1)=12.

此題與x的取值無關，所以當x=2008-53，原式為12.

點評 本題以學生熟悉的課堂情景為背景進行命題，使嚴肅的“考場”變成輕松的“課堂”，體現了對考生的人文關懷.

3 說理型

例3 （2008年廣西省桂林）有一道題：“先化簡再求值：(x-1x+1+2xx2-1)÷1x2-1，其中x=-2008”，小明做題時把“x=-2008”錯抄成了“x=2008”，但他的計算結果也是正確，請你通過計算解釋這是怎么回事？

分析 讀罷此題，疑竇頓生，種種猜測，難以定奪.但依題意，先“化簡”，其結果是x2+1，至此，茅塞頓開.

解 (x-1x+1+2xx2-1)÷1x2-1

=［x-1x+1+2x(x+1)(x-1)］×(x+1)(x-1)

=(x-1)2+2x

=x2+1

因為當x=-2008或x=2008時，x2的值均為2008，

所以小明雖然把值抄錯，但結果也是正確的.

點評 這是一道說理性問題.本題巧設懸念，扣人心弦，讓考生透過現象看本質，有效地培養了同學們“打破沙鍋——紋（問）到底”的探究精神.

4 全開放型

例4 （2008年恩施自治州）請從下列三個代數式中任選兩個構成一個分式，并化簡該分式：

x-4xy+4y2;x2-4y2;x-2y.

分析 每兩個代數式組合都可以構成2個分式，因此共可構成6個分式.

解 本題答案不惟一，如x2-4xy+4y2x2-4y2=(x-2y)2(x+2y)(x-2y)=x-2yx+2y .

點評 本題是一道全開放型試題，更有利于培養同學們的創新思維能力.

5 閱讀理解型

例5 （2008年廣東湛江市）先觀察下列等式，然后用你發現的規律解答下列問題．

11×2=1-12

12×3=12-13

13×4=13-14

ァ

ィ1）計算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=.

ィ2）探究11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=．（用含n有的式子表示）

（3）若11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)的值為1735，求n的值．

分析 觀察題中各列等式，可發現是將分式“拆分”后，再相加，那么所求式的計算可借鑒這一方法，先將所求式中的每個分式進行“拆分”.即15×6=15-16；1n(n+1)=1n-1n+1；…然后再相加.

解 （1）原式=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16=56.

（2）原式=1-1n+1=nn+1.

（3）11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)

=12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+…+12(12n-1-12n+1)

=12(1-12n+1)=n2n+1 .

由n2n+1=1735，解得n=17.

經檢驗n=17是方程的根，所以n=17.

點評 解決這類問題時，首先要通過閱讀，發現題目中所隱含的解決問題的方法，然后運用這種方法來解決類似問題，這類問題能有效的考查同學們的閱讀理解能力以及轉化問題的能力.プ髡嘸蚪椋盒砩友,男,1967年生.中學高級教師. 近幾年致力于初中數學教學的改革,曾在多家省級以上報刊雜志上正式發表教育教學文章2000余篇,參編或主編教輔用書15部,為多家報刊社特約編輯及特約撰稿人.