過兩圓交點(diǎn)的圓系方程的推導(dǎo)、拓廣及應(yīng)用

李鳳華

數(shù)學(xué)高考科《考試要求》對于圓這部分，要求在內(nèi)容上掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，理解圓的參數(shù)方程；在能力上能根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问剑么ㄏ禂?shù)法求出圓的方程，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解決與圓有關(guān)的問題.由此可知，求圓系方程的問題無論是從方法上，還是從內(nèi)容上都是教學(xué)中必須注意的問題.而這種問題通常的表現(xiàn)形式是：過兩個已知圓的交點(diǎn)，又滿足另外一個條件求圓的方程.例如，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2第132頁習(xí)題4.2第4題“求圓心在直線x-y-4=0上，并且經(jīng)過圓x²+y²+6x-4=0與圓x²+y²+6y-28=0的交點(diǎn)的圓的方程”，133頁第10題“求經(jīng)過點(diǎn)M(2，-2)以及圓x²+y²-6x=0與圓x²+y²=4交點(diǎn)的圓的方程”.對于這種題型，我們?nèi)舨捎孟冉夥匠探M求交點(diǎn)，再按待定系數(shù)法求解，運(yùn)算量大，過程繁瑣，容易出錯.但若用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程，便可避免解方程組，從而減少了運(yùn)算量，提高了解題速度和準(zhǔn)確率.但是在過兩圓交點(diǎn)的圓系方程的教學(xué)中，教師并不能從現(xiàn)有知識結(jié)構(gòu)中給學(xué)生一個合理的邏輯解釋，只是告訴學(xué)生方程表示圓，此圓過兩圓的交點(diǎn)，所以許多學(xué)生懷疑過交點(diǎn)的所有圓其方程都可表示為這種形式.因此本文就圓系方程問題，從理論上給予證明和拓廣，并舉例說明圓系方程的妙用.