函數與方程的思想在解題中的應用

羅建宇

函數關系是變量與變量之間一種特殊的對應、映射與變換，方程是從算術方法到代數方法的過程中尋找等量關系的一種質的飛躍.函數與方程思想貫穿整個高中數學內容，在各知識中蘊涵著深刻的內涵，它是高中數學最基本的卻又是最重要的思想方法之一.

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題，方程思想是指從分析問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)來使問題獲解.函數與方程思想的實質是提取問題的數學特征，用聯系和變化的觀點研究數學對象，抽象其數量特征，以建立函數關系.很明顯，只有在對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程中，具備深刻、獨特的思維品質，才能構造出函數模型，化歸為方程的問題，實現函數與方程的互相轉化，達到解決問題的目的.本文例析函數與方程思想在解題中的應用.

一、函數與方程思想在數列中的應用

數列的通項公式或前n項和公式可看作定義域為正整數集的函數，用函數觀點去處理數列問題十分重要.用方程思想處理數列問題，就是將原問題轉化為待定字母的確定，而這些字母的確定又通過方程(組)的研究來完成.

例1 若在數列{a璶}中，a1=15，以后各項由a﹏+1=a璶-23確定，則{a璶}的前 項之和最大.

解析：由題意知，{a璶}是以15為首項，以-23為公差的等差數列，故S璶=15n+n(n-1)2?(-23)=-13(n-23)2+5293，當n=23時，S璶最大，故答案填23.

也可由a璶=-23n+473得知a璶是n的單調遞減函數，所以僅有前若干連續項為正數，它們的和為S璶的最大值，由a璶≥0,a﹏+1<0得n=23.

二、函數與方程思想在三角中的應用

例2 已知△ABC三內角A，B，C的大小成等差數列，且玹an獳玹an獵=2+3,又知頂點C為對應邊c上的高等于43，求△ABC的三邊a,b,c及三個內角.

解析：由題設玹an獳玹an獵=2+3聯想到△ABC中的恒等式玹an獳+玹an獴+玹an獵=玹an獳玹an獴玹an獵，于是有玹an獳+玹an獵=玹an獴?(玹an獳玹an獵-1)，又A，B，C的大小成等差數列，故B=π3,所以玹an獳+玹an獵=3(1+3).

則玹an獳,玹an獵是方程x2-(3+3)x+2+3=0的兩根，不妨令A

由此得：a=8,b=46,c=43+4.

評注：本題逆用韋達定理構造一元二次方程，解出角的三角函數值從而求得相應的角與邊的大小.

三、函數與方程思想在不等式中的應用

函數、方程與不等式之間有著密不可分的聯系，在不等式問題中，應重視以函數為橋梁，根據實際問題建立函數模型，用函數思想分析，解決問題.

例3 求證不等式：x1-2瑇

證明：令f(x)=x1-2瑇-x2(x≠0)，

由f(-x)=-x1-2-x+x2=-x(2瑇-1)2瑇-1+-x2瑇-1+x2=x1-2瑇-x2=f(x),所以f(x)=x1-2瑇-x2是偶函數.

當x>0時，2瑇>20，即1-2瑇<0，可知ゝ(x)<0;

當x<0時，-x>0，f(x)=f(-x)<0,

故當x≠0時，f(x)=x1-2瑇-x2<0，

即x1-2瑇

評注：本題運用函數奇偶性證明不等式，說明在用函數方法證明不等式時，應注意充分利用函數性質.

四、函數與方程思想在解析幾何中的應用

解析幾何即用代數的方法研究幾何問題，其中的曲線解析式看作方程，通過解方程的手段或對方程的研究，使問題得以解決.對于曲線上動點問題，其在變化過程中會引入一些相互聯系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參數之間構成函數關系.上述思想方法在解析幾何中經常被使用.

例4 設雙曲線C：x2a2-y2=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B.

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

(2)設直線l與y軸的交點為P，且㏄A=512㏄B.求a的值.

解析：(1)由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組x2a2-y2=1,

x+y=1有兩個不同的實數解.消去y并整理得

(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①

所以1-a2≠0，

4a4+8a2(1-a2)>0.解得0

雙曲線的離心率e=1+a2a=1a+1.

∵062且e≠2,

即離心率e的取值范圍為(62,2)∪(2,+∞).

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),

∵㏄A=512㏄B,∴(x1,y1-1)=512(x2,y2-1).由此得x1=512x2.

由于x1、x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以1712x2=-2a21-a2,512x22=-2a21-a2.消去x2，得-2a21-a2=28960,由a>0，所以a=1713.

五、函數與方程思想在立體幾何中的應用

立體幾何中有關線段長、角度、面積及體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決.

例5 已知正四面體ABCD，設其邊長為a，幾何中心為O，求∠AOB的大小.

解析：由題意，取△BCD的中心H，連AH，則AH通過點O且AH⊥面BCD，故AH⊥HB，如圖所示，由正四面體ABCD邊長為a，

則AB=a，底面△BCD為正三角形，H為其中心，∴BH=33?a，由∠AHB=90°,故△AHB為直角三角形，則AH=63a，O為正四面體幾何中心，設AO=BO=x，由OH2+BH2=OB2，得(AH-x)2+BH2=x2,即(63a-x)2+(33a)2=x2，解得x=64a.

在△AOB中由余弦定理知

玞os∠AOB=AO2+OB2-AB22AO?OB

=(64a)2+(64a)2-a22?64a?64a=-13,

所以∠AOB=玜rccos(-13)=π-玜rccos13.

六、函數與方程思想在二項式定理中的應用

函數f(x)=(a+bx)琻(n∈N*)與二項式定理密切相關，利用這個函數用賦值法和比較系數法可以解決很多有關二項式定理的問題.

例6 設f(x)=(1+x)琺+(1+x)琻(m,n∈N*)展開式中x的系數和為19，求f(x)中x2項系數的最小值.

解析：由題意m+n=19，即m=19-n，則f(x)中x2項系數為C2璵+C2璶=m(m-1)2+n(n-1)2=(n-192)2+3234,由n∈N*，故n=9或n=10時，f(x)中x2項系數取最小值，最小值是81.

評注：通過二項展開式的通項公式，將x與x2項的系數表示成m,n的關系式，進而將x2項的系數轉化成m或n的二次函數，求出定義域為正整數集時的最小值.

七、函數與方程思想在概率中的應用

函數與方程思想也是解決概率問題的基本思想，結合題意，引入參變量，建立目標函數或適當的方程，利用函數與方程的性質可將問題解決.

例7 某中學的一個研究性學習小組共有10名同學，其中男生n名(3≤n≤9)，現從學習小組中選出3人參加一項調查活動，若至少有一名女生選中的概率為f(n),求f(n)┆玬ax.

解析：由題意f(n)=1-C3璶C310=1-1720n(n-1)(n-2),3≤n≤9,n∈N*,設g(x)=1-1720x(x-1)(x-2),3≤x≤9，則g′(x)=

-1720［3(x-1)2-1］,由3≤x≤9，有g′(x)<0，因此g(x)在［3，9］上單調遞減，故ゝ(n)┆玬ax=f(3)=119120.

評注：建立滿足題意的目標函數后，利用函數的研究方法即可將問題解決.f(n)的定義域內是一些孤立的點，直接求導數則無意義，因此構造相同的連續函數，對函數進行研究后進而得到原問題的答案.

八、函數與方程思想在多元問題中的應用

面對含二元及二元以上的多元未知問題時往往會令我們束手無策，但方程思想為我們指明了一條通往成功的光明大道.

例8 已知x+y+z=0,xyz=2，求|x|+|y|+|z|的最小值.

解析：由條件x+y+z=0,xyz=2知，x,y,z三者中必定兩負一正，不妨設x<0,y<0,z>0,M=|x|+|y|+|z|，則M=-x-y+z=-(x+y+z)+2z=2z，因為x+y=

-z,xy=2z，所以x,y可看作t2+zt+2z=0的兩根，其判別式△=z2-8z≥0，又z>0，可得z≥2，故M=|x|+|y|+|z|≥4，即其最小值為4.

點評：本題題量不大，但包含的知識點不少，其中有符號問題，絕對值問題，消元問題等，在已知兩數的和與積時，一般構造一元二次方程來解決(類似于例2)，本題題設是等量問題，而結論卻是不等式問題，因而利用判別式是很好的橋梁.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”