一道平面幾何問題的另證

龔浩生　熊小平

《數學通報》2007年7月號問題1683為：

在鰽BCD中，過A、B、C三點作圓交BD于E，過B、C、D三點作圓交CA延長線于F.求證：BD?BE=AC?CF.

原解運用“玴tolemy”定理，結合相似變換，得出兩個等式后，使結論獲證.

經研究，我們發現此問題證法靈活，難易適度，是一道適合奧賽訓練的好題.現給出幾種更為簡潔自然的證法，供參考.

證法一：如圖1所示，連結BF、DF，由B、C、D、F四點共圓，及AB∥CD，有∠BFC=∠BDC=∠ABD，∠CFD=∠CBD,所以，∠BFD∠ABC.

又∠BDF=∠BCF=∠ACB，所以，△BDF∽△ACB.

所以，BDAC=BFAB.

同理△CDF∽△ECB，有CFBE=CDEC，由∠BAF=180°-∠BAC=180°-∠BEC=∠CED,及∠BFA=∠CDE,得：△ABF∽△ECD.∴BFCD=BACE，即BFBA=CDCE.∴BDAC=CFBE.

∴BD?BE=AC?CF.

證法二：如圖1，連結BF、DF、CE，由B、C、D、F四點共圓，設共圓半徑為R，則由正弦定理得：BD玸in∠BFD=2R=CF玸in∠CDF，故BDCF=玸in∠BFD玸in∠CDF.同理，由A、B、C、E四點共圓，得：ACBE=玸in∠ABC玸in∠BCE.

由證法一，∠BFD=∠ABC,∠CDF=∠BCE.∴玸in∠BFD玸in∠CDF=玸in∠ABC玸in∠BCE.

∴BDCF=ACBE，即BD?BE=AC?CF.

證法三：如圖1，設AC與BD相交于O，則OB=OD,OC=OA.由A、B、C、E四點共圓，得：OB?OE=OC?OA ①

同理，OB?OD=OC?OF ②

①+②得：OB(OE+OD)=OC(OA+OF)，即：OB?(OE+OB)=OC?(OC+OF).

∴2OB?BE=2OC?CF.即BE?BD=AC?CF.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”