例談立體幾何中“存在”型問題的向量解法

牛立新

結(jié)論不確定的探索性問題，通常稱之為“存在型”問題，這類問題經(jīng)常以“是否存在”，“是否有”，“是否可能”等語句出現(xiàn)，以示結(jié)論有待判斷.“存在型”問題是較典型的開放探索性問題，由于數(shù)學開放題有利于學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和良好思維品質(zhì)的形成，它越來越受到命題者的青睞和研究.由于新教材中向量的引入，尤其把向量用坐標表示，這便為用“數(shù)”的方法研究立幾中“形”的問題建立了嶄新的平臺.使得幾何問題代數(shù)化，不僅可以降低空間想象的難度，而且具有很強的可操作性，使此類問題的解答簡明流暢，有法可循，達到避繁就簡，化難為易，事倍功半的效果，同時體現(xiàn)了新教材的優(yōu)勢功能.本文舉例說明立體幾何中“存在”型問題的向量解法，以供參考.

一、探求比值問題

例1 (2002年全國高考題)如圖1，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，則當CDCC1的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明.

解：設C1在底面上的射影為O，因而面CC1A1A⊥面ABCD，且交線為AC，所以O在AC上，以O為原點，OC1所在直線為z軸，AC所在直線為x軸，建立如圖1所示的空間直角坐標系O-xyz.設CD=a,CC1=b(a>0，b>0).那么C(33b,0,0),D(-32a+33b,a2,0),B(-32a+33b,-a2,0),C1(0,0,63b),狝1(-3a,0,63b).∴〤A1=(-3a-33b,0,63b),〤1B=(-32a+33b,-a2,-63b),〣D=(0,a，0).若A1C⊥平面C1BD，則〢1C?〤1B=0，

〢1C?〣D=0，即(-3a-33b)(-3a+33b)-23 b2=0，化簡得3a2-ab-2b2=0.即(a-b)(3a+2b)=0.

∴ab=1或ab=-23(舍去).

故當CDC1C=1時，A1C⊥平面C1BD.

評注：盡管點的坐標計算有一定難度，但均可在平面三角形中完成，而后面垂直關(guān)系的判斷則非常簡單.

二、探求點問題

例2 如圖2，已知ABCD為邊長是1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=1，試問PB上是否存在一點M，使平面MAC與底面ABC成60°角?若存在，請求出點M的位置；若不存在，請說明理由.

解：由題意建立如圖2所示的空間直角坐標系A-xyz.則A(0，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，假設PB上存在一點M，設M點在x,z軸上的正投影分別為E，F(xiàn)，設AE=a，則AF=1-a，即M(a,0,1-a)，且0

x0+y0=0,令z0=a，則x0=a-1,y0=1-a，即n=(a-1,1-a,a).由玞os=|n?〢P遼|n遼?|〢P遼，

得12=|a|(a-1)2+(1-a)2+a2?02+02+12,化簡得a=6-2,即M(6-2,0,3-6)，

即存在一點M，當PMMB=23時，平面MAC與底面ABC成60°角.

評注：用兩平面的法向量夾角來刻劃兩平面夾角，是用空間向量處理立幾問題的通法.

三、探求范圍問題

例3 (2006年重慶卷)如圖3，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點.設PA=kAB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范圍.

解：如圖3，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，設AB=a，則易知點A，B，C，D，F(xiàn)的坐標分別為：A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0),設E在xOy平面上的投影為G，過G作GH⊥BD，垂足為H，由三垂線定理知EH⊥BD.從而∠EHG為二面角E-BD-C的平面角.由PA=kAB，得P(0,0,ka),Ea,a,ka2,

G(a,a,0).設H(x,y,0)，則〨H=(x-a,y-a,0),〣D=(-a,2a,0),由〨H?〣D=0，得

-a(x-a)+2a(y-a)=0，

即x-2y=-a ①

又因〣H=(x-a,y,0)，且〣H哂氌〣D叩姆較螄嗤，故x-a-a=y2a，即2x+y=2a ②

由①②解得x=35a,y=45a，從而〨H=-25a,-15a,0,|〨H遼=55a，

玹an∠EHG=|〦G遼|〨H遼=ka255a=52k.

由k>0知，∠EHG是銳角，由∠EHG>30°，得玹an∠EHG>玹an30°，即52k>33.

故k的取值范圍為k>21515.

由以上幾例可以看出，高考數(shù)學命題把開放題作為重要的題型引入到試卷中來，是將新課標的理念滲透于其中.另外利用向量法解決立體幾何的“存在型”問題，為學生提供了嶄新的視角，豐富了他們的思維結(jié)構(gòu).同時，拓寬了學生的解題思路，發(fā)揮了新教材的優(yōu)勢功能，對學生更好的理解和掌握平面向量有關(guān)內(nèi)容以及后續(xù)學習奠定了基礎.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”