議“調節(jié)點”在數(shù)學解題中的作用

胡樂丹

眾所周知，數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展總是在提出問題和解決問題的過程中進行的.美國數(shù)學家哈爾莫斯(玃.R.Halmos)認為，問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學的真正的組成部分是問題和解.著名數(shù)學家及數(shù)學教育家喬治?波利亞(獹.Polya)也強調指出：“中學數(shù)學教學首要的任務就是加強解題訓練，掌握數(shù)學就是意味著善于解題”.與之對應的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》也指出：“數(shù)學必須培養(yǎng)和提高學生分析問題、解決問題的能力”.因此解題研究便成為高中數(shù)學教育研究的熱點之一.筆者經(jīng)過長期研究發(fā)現(xiàn)，當解題者尋覓到適當?shù)慕忸}切入點后，并不能保證順利地解決此數(shù)學問題，只能說明解題者通過問題的閱讀和理解建構起了最初的“問題空間”；然后隨著“問題空間”與來自外部和長時記憶的信息的“接觸”，它不斷發(fā)生新的變化，即變得更為豐富和更為精致；最后問題的解決就取決于解題者最終能否成功地建構出關于所面臨問題的一個合適的內在表征.因此可見解題者對解題信息與心理表征進行必要的調節(jié)，也即對解題的“調節(jié)點”進行分析和監(jiān)控，便顯得尤為重要.下面以學生的一道數(shù)學問題的部分解題記錄的呈現(xiàn)為例加以說明.

題目 已知正數(shù)a,b,c,a1,b1,c1,滿足條件a+a1=b+b1=c+c1=k,求證：ab1+bc1+ca1

一、解題“調節(jié)點”之一——相繼的“思維塊”的結合點，即活動的性質發(fā)生改變的時刻

生1：“……，試了這么多方法就不能把所要證的不等式兩邊聯(lián)系起來呢?

這么多字母，太麻煩了，怎樣才能化繁為簡呢?我必須重新審視一下.……，代數(shù)方法困難，能不能轉換角度，用幾何方法來解決這一代數(shù)問題呢?題目中是否隱藏有幾何背景呢?如果我把ab1,bc1,ca1均看成三個矩形的面積呢?有了，k2可以看作邊長為k的正方形的面積，從中構造出前面的這三個矩形!試一試.

構造邊長為k的正方形ABCD(如圖1)，且令DF=a,DG=AH=b1,AG=BH=b,BE=c1,CE=c,CF=a1,并作出相應的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，由S〢BCD>SⅠ+SⅡ+SⅢ,就有了k2>ab1+bc1+ca1.真漂亮!老師你說呢?”

生2：“先設法把所求式子中的字母減少一些，利用已知條件代掉a1,b1,c1不就行了嗎?于是得到ab1+bc1+ca1=a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)=k(a+b+c)-(ab+bc+ac).然后怎么辦呢?上式右邊無論怎樣與k2也聯(lián)系不起來?!……，我失敗了!”

筆者認為，在解題分析中我們首先應特別注意解題“調節(jié)點”之一——相繼的“思維塊”的結合點，即活動的性質發(fā)生改變的時刻.如生1采取“數(shù)轉化為形”的時刻：他認為代數(shù)方法遇到困難，而題目中的某些條件恰好與其本人已有的認知結構發(fā)生聯(lián)系和碰撞，從而此刻“問題空間”向著成功的方向轉化.而生2在解題過程中題目信息與本人已有的相關知識脈絡之間沒有發(fā)生共鳴或彌合，進而導致解題失敗.

二、解題“調節(jié)點”之二——重要的新信息的出現(xiàn)或考慮采取新的解題途徑的可能性的時刻

生3：“已知條件的等式中沒有式子ab1+bc1+ca1，能不能通過某種方法找出背后隱藏的且包含這個式子的表達式呢?那么已知等式中的除k以外的其他三個式子相乘不就行了嗎!不行，這樣得到的式子太多了，竟然有八個

式子!

看來我如果不能簡化這些式子的話，那么只能另攀高枝了.先計算一下再說：

k3=(a+a1)(b+b1)(c+c1)=abc+a1bc+acb1+a1b1c+abc1+a1bc1+ab1c1+a1b1c1,

嗯，由初中講的分組分解法先提取公因式呢，于是有：

k3=(abc+a1b1c1)+ab1(c+c1)+ca1(b+b1)+bc1(a+a1),

好!我做出來了!由上式可知：k3>ab1k+bc1k+ca1k=k(ab1+bc1+ca1).

又由于k>0，所以k2>ab1+bc1+ca1.”

生4：“這道題最大的問題還是字母太多了，怎么才能減少未知數(shù)呢?嗯，我想起來了，減少未知數(shù)可用代入消元法加以解決.讓我觀察一下題目中的式子有什么特點?好象已知條件的式子中具有某種相似性，只要考慮一個式子就行了.已知a+a1=k，能不能變形一下?從而找出與已學知識的聯(lián)系.噢，這樣行了!由a+a1=2×k2，從而聯(lián)想到數(shù)列{a璶}為等差數(shù)列的一個充要條件是a璶+a﹏+2=2a﹏+1,所以可以這樣解：

∵a+a1=b+b1=c+c1=k,∴a,k2,a1構成等差數(shù)列，故可設a=k2-x,a1=k2+x.其中|x|

∴ab1+bc1+ca1=(k2-x)(k2+y)+(k2-y)(k2+z)+(k2-z)(k2+x)

=34k2-(xy+yz+xz)=k2-(14k2+xy+yz+xz).

下面只要證14k2+xy+yz+xz>0，…，字母還是太多了，想了半天，我證不出來.”

筆者認為，在分析中我們還應特別注意解題“調節(jié)點”之二——在解題過程中出現(xiàn)了一些重要的新信息或考慮采取新的解題途徑的可能性的時刻(盡管解題者在當時可能對此并沒有能夠清楚地認識到).如生3在解題過程中發(fā)現(xiàn)題中的八個式子可采取初中的相關知識加以解決時，充分利用此信息的功能從而導致解題成功；而生4在最后的14k2+xy+yz+xz>0的證明時，完全可以采取函數(shù)法加以解決，但對此解題途徑他當時并未充分認識到，從而導致解題活動未能圓滿完成.

三、解題“調節(jié)點”之三——尚未形成“災難性”的后果，但已出現(xiàn)了錯誤“跡象”的時刻

生5：“已知條件好像比較復雜，難以利用，能不能變形一下?……，好!可以這樣變形，由已知等式得：ak+a1k=bk+b1k=ck+c1k=1.這樣我通過結構類比馬上聯(lián)想到三角代換法，即可設a=k玸in2α,b=k玸in2β,c=k玸in2γ,其中α，β，γ均為銳角，…，則

ab1+bc1+ca1=k2［玸in2α(1-玸in2β)+玸in2β(1-玸in2γ)+玸in2γ(1-玸in2α)］

=k2［(玸in2α+玸in2β+玸in2γ)-(玸in2α玸in2β+玸in2β玸in2γ+玸in2γ玸in2α)］.

好象變得越來越繁雜，無法縮短與所證結論的差距!在此思維斷線了!”

生6：“思索了這么長時間還沒有頭緒!我記得老師曾說過：當沒有思路時，要重回條件進行分析，看樣子只能把條件再變形一下了.把k除過去，化成ak+a1k=bk+b1k=ck+c1k=1.這好像與剛復習過的對立事件的概率公式有點想像!顯然0

=(ak+bk+ck)-(abk2+bck2+cak2)+abck3,…，這太復雜了，與結果相差太大，我沒法了!”

筆者認為，在分析中我們也應特別注意解題“調節(jié)點”之三——尚未形成“災難性”的后果，但已出現(xiàn)了錯誤“跡象”的時刻.這時應當引起“反省”以作出必要的調整，否則就會導致失敗.如生5在解題過程中采取了正確的解題切入點，但最后并沒有利用同角的正余弦平方和為1的公式進行化簡，然后再利用有效的放縮來解決問題，反而進行不恰當?shù)亟M合，導致解題出現(xiàn)思路斷檔；再如生6在解題時，最后一個表達式分組結合失當，又沒有及時反省，導致發(fā)出“這太復雜了”的感嘆，解題活動的結果可想而知.

由上可見，在解題過程中對“調節(jié)點”的分

析和監(jiān)控折射出解題者對解題信息與大腦中已有的知識脈絡之間相互轉換、溝通的能力，是解題過程中的又一關鍵點所在.總的來說，所謂的解題“調節(jié)點”是指這樣的時刻：此時解題者已經(jīng)或者應當從“元認知”的高度去采取行動.而數(shù)學解題中的“元認知”是指解題者對于自身所從事的解題活動(包括解題策略的選擇、整個過程的組織、目前所從事的工作在整個解題過程中的作用等)的自我意識、自我分析(包括評估)和自我調整.為了保證所從事的解題活動能夠獲得成功，我們不僅應當首先對解題活動作出整體性的計劃，而且應當根據(jù)解題的進展情況保持清醒的自我意識，及時分析與監(jiān)控解題過程中的“調節(jié)點”，并且通過自我評價及時作出必要的調整，最后通過反思達到解題活動的圓滿成功.

參考文獻

［1］鄭毓信、梁貫成編著.認知科學、建構主義與數(shù)學教育［玀］.上海：上海教育出版社，2002

［2］普通高中數(shù)學課程標準(實驗)［玀］.北京：人民教育出版社，2003，4

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”