也談平面與空間的類比

陳行光

類比就是一種相似.相似的對象在某個方面彼此一致，類比對象的相應部分在某些方面相似［1］.本文試圖對于平面與空間在位置關系，升維與降維的處理方法，平面中四個公式的推廣等方面，從相似的結論及解決問題的過程進行類比分析.

1 位置關系

例1 確定①線段AB，②正三角形ABC，③正四面體A—BCD的中心G的位置.［1］

結論：①線段AB的中心G在線段的中點，即GA∶GB=1∶1.

②正△ABC的中心(也就是重心)G滿足GA∶GM=2∶1，其中M點為邊BC的中心(即中點).

③正四面體A—BCD的中心G滿足GA∶GM=3∶1，其中M為底面正△BCD的中心.

證明(略).

從線段到正三角形到正四面體，是從一維直線到二維平面到三維空間的拓廣，而結論從1∶1到2∶1到3∶1也是“類比”的猜測.把這種猜測的似真性當作肯定性那是愚蠢的，但是忽視這種似真的猜測是同樣愚蠢甚至更為愚蠢的［1］.其證明則經歷了從長度到面積到體積的過程.可見對于較簡單的類比問題的解答，我們可以利用它的方法或者利用它的結果.

2 升維與降維的處理方法

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”