深入研究教材　教好平面圖形

李樹臣

深入研究教材 教好平面圖形(1)

(1)本文系山東省教育科學“十一五”規劃2008年度課題——青島?泰山版《初中數學教科書》實踐與研究（編號：2008GG212）的系列研究成果之一.

青島出版社和泰山出版社出版的義務教育課程標準實驗教科書《數學》（七—九年級1—6冊）（以下簡稱“新教材”），已于2006年全部通過全國中小學教材審查委員會的審查，目前已在多個地市大面積使用. 新教材采用代數與幾何混編的方式，共分六冊34章. 我們在本文就新教材中關于《平面圖形的認識》一章的教學研究，談談自己的理解與思考，以幫助實驗教師更好的把握新教材，用好新教材.

筆者認為《平面圖形的認識》安排在七年級下學期最后一章是比較恰當的. 首先學生具備了學習本章內容的基礎. 學生在第二學段，已經初步學習了三角形、特殊的四邊形、圓等平面圖形的簡單知識，從七年級（上）第1章開始認識平面圖形，較系統地學習了線段、直線、射線、角、平行線的有關知識. 本章就是在這樣的認知基礎上進行設計安排的，可以說本章內容是對以前所學知識的發展和升華. 其次，本章內容又是后面將要學習內容的基礎. 我們知道三角形、四邊形是第三學段“空間與圖形”領域主要研究的平面圖形. 是今后進一步學習、研究圖形的對稱、勾股定理、圖形的全等與相似、圖形的平移和旋轉、圖形的證明、平行四邊形及空間圖形等后繼內容的基礎. 而圓的初步知識是學習尺規作圖以及今后各章相關內容所必需的基礎內容. 通過本章的學習，不僅可以豐富和發展學生對平面圖形的認識，而且有利于培養學生的空間觀念，提高學生分析圖形和解決有關圖形問題的能力.

1 新教材分析

11 內容分析

111 本章的知識結構

112 本章涉及的數學思想方法

本章以認識平面圖形的概念和探索一些最基本最簡單的性質為素材，滲透了幾何建模、分類、轉化、集合、圖形變換等重要的思想方法.

①分類思想

本章明顯體現分類思想的內容是對三角形進行的分類. 新教材指出，對三角形的分類有兩種分法：既可以按角進行也可以按邊進行. 三角形按角可分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形. 按邊分為兩類：等腰三角形和三條邊都不相等的三角形. 即：

另外，在解答有關等腰三角形的問題時，常常用到分類的思想.

再如，在研究平面內點和圓的位置關系時，也是分三種情況進行研究的：點在圓內、點在圓上、點在圓外.

②轉化的思想

本章中，在研究多邊形的內角和時，是通過添加輔助線把多邊形分割成三角形，利用三角形的內角和性質推出的.

③數學建模意識

新教材在對圓的初步認識中，關于圓的概念是用描述性的語言給出的，學生在經歷圓的概念的形成過程中，可以發展學生的數學建模意識.

④集合的思想

對于圓的概念除可以用上面的描述性的方式給出外，還可以用集合的語言給出. 類似地，圓的內部和外部也都是用這種語言給出的.

1．1．3 本章的重點、難點和關鍵

本章的重點有四：①三角形、多邊形、圓的有關概念；②三角形的三邊關系、內外角關系，三角形按角分類；③多邊形的內角和與外角和公式，并能運用這些公式解決問題；④多邊形密鋪的條件，能用多邊形設計密鋪圖形.

本章的難點有三：①三角形的三邊之間、外角和不相鄰內角的不等關系；②多邊形的密鋪；③使用較規范的語言表述探究的過程與結論，尺規作圖的步驟.

克服難點的關鍵有三：一是引導學生經歷數學概念的形成過程及有關性質的探究過程；二是注意將數學語言與敘述說理相結合；三是注意圖形語言和符號語言之間的相互轉化.

1．1．4 課時安排

本章內容安排在七年級下學期學習，本冊新教材共7章，其中“平面圖形的認識”是第7章（全學年通排為第15章），包含5節內容，計劃用13課時完成，分別是：

15.1三角形，4課時

15.2多邊形，2課時

15.3平面圖形的密鋪，2課時

15.4圓的初步認識，2課時

15.5用直尺和圓規作圖，1課時

回顧與總結，2課時.

1．2 教學目標的設置

教育部《全日制義務教育數學課程標準》（以下簡稱《標準》）明確了義務教育階段數學課程的總目標，并從知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態度四個方面做出了進一步的闡述. 它在刻畫數學知識技能時使用了“了解（認識）、理解、掌握、靈活運用”等目標性動詞，還使用了“經歷（感受）、體驗（體會）、探索”等刻畫數學活動水平的過程性動詞. 我們在編寫新教材時，嚴格遵循《標準》的上述理念，對目標的要求不只停留在知識技能方面，而且還特別注重了讓學生參入數學活動過程的情境設計. 注重了數學應用意識的形成和培養，將教學目標的實現有機的融入到精心設計的情境中、過程中和應用中. 具體說來是從以下四個方面來落實課程目標的：

知識與技能：（1）了解三角形的有關概念，會畫任意三角形的角平分線、中線和高；（2）了解多邊形的有關概念，了解多邊形的內角和與外角和公式；（3）了解平面圖形的密鋪，并能進行簡單的密鋪設計；（4）理解圓及有關概念；（5）掌握尺規作圖技能，能完成兩種基本作圖，會利用基本作圖作三角形.

數學思考：（1）經歷三角形、多邊形及圓的有關概念與性質的形成過程，發展抽象思維能力；（2）在對密鋪條件的探索中，形成初步的創新意識；（3）經歷簡單尺規作圖的操作過程，體會圖形的變換，發展形象思維能力.

解決問題：（1）結合具體情境發現并形成三角形、多邊形及圓的有關概念；（2）嘗試從不同角度分析和理解概念，明確有關概念間的聯系與區別；（3）通過探索平面圖形的密鋪條件，嘗試從不同角度分析問題，體現與他人合作的重要性；（4）正確地完成兩種基本作圖，能解釋其作法的合理性.

情感與態度：（1）對于周圍形如三角形、四邊形、圓形的物體和圖形產生好奇心，能夠積極參與實驗、發現、探究、問題解決等數學活動；（2）在平面圖形密鋪的實際應用中，欣賞數學中的美，體會數學是解決實際問題的重要工具；（3）在獨立思考的基礎上，積極、主動參與有關概念的形成及其應用過程的討論，敢于發表自己的見解，尊重他人的見解，體驗成功的樂趣.

從以上的描述可以看出，上述目標涵蓋了數學課程目標的各個緯度，體現了新課程的價值追求. 教師們在貫徹教學要求時，必須準確地理解并把握上述有關動詞的含義. 把握準它們的含義有兩層意思：一是不能過低的要求學生，這樣就達不到《標準》的要求，完不成教學的任務，造成對后續學習缺乏“奠基”的知識，必然導致學生的數學基礎打不好；二是不能過高的要求學生，這樣會增加學生的學習負擔，影響其身心健康，久而久之將會抹殺他們學習數學的信心，同樣也達不到提高學生數學素養的目的. 前者就是人們通常說的“教學要求”過低，后者便是“教學要求”過高，出現這兩種現象的原因就是由于教師把握不準上述一些動詞的含義所致. 多年的教書實踐告訴我們，如果教師的教學行為不能很好的體現《標準》的理念，必然會促使某些學生“掉隊”，導致“學困生”隊伍的增大，影響教育教學質量的提高，從這個意義上講教師是造成有些學生學不好數學的主要原因.

1．3 新教材的編寫特點

新教材為了落實上述目標，以《標準》為依據，呈現出“問題情境—建立模型—解釋、應用和拓展”的編排體系，就本章而言有以下突出特點：

1．3．1 以古老的金字塔為背景，點明本章的主要內容和所研究的主要問題

為了使學生經歷從具體情境中抽象出三角形，從而建立幾何模型的過程，體驗到三角形與現實生活的密切關系，全章以埃及金字塔為背景，來激發學生的學習責任感、使命感，調動學生思考問題的積極性，引出本章的主要內容和所要研究的主要問題. 同時具有傳奇、神秘特色的金字塔也能激發起學生對幾何圖形進行探究的興趣和欲望，增強學生努力學好數學的決心.

1．3．2 創設問題情境，以問題（串）引導學生通過探究發現有關的概念與性質

關于平面圖形的有關概念及性質，新教材都是通過創設一定的富有實際意義的問題情境，讓學生在探索活動中，通過交流發現得到的. 例如，在給出三角形的概念之前，新教材給出了三副照片：塔吊的支架、彩旗和船帆. 通過讓學生觀察這些實例，使學生經歷從實際生活中抽象出三角形的特點的過程，引導學生用自己的語言概括出三角形的本質特點，以培養學生的抽象概括能力.

再如，15.1在得到“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”這一性質之前，新教材給出了下面四個問題讓學生進行思考：

①已知三角形兩個角的度數，怎樣求第三個角的度數？

②在直角三角形中，兩個銳角的和等于多少度？

③三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內角的和有什么關系？為什么？

④三角形的一個外角與它不相鄰的一個內角有什么關系？能說明你的結論嗎？

學生由于已經有了“三角形三個內角的和等于180°”的知識基礎，就能依次思考上面的“問題串”，在得到對這些“問題串”的答案后，就能由特殊得到一般的結論. 這樣安排能引導學生進行思考與交流，結論的獲得是在同學們自己思考的基礎上歸納出來的，在歸納的過程中還訓練了學生有條理的語言表達能力，比直接告訴學生這一性質要好得多，符合《標準》的理念和要求.

1．3．3 為學生的個性發展提供了大量的探索與交流的空間

為了改變學生的學習方式，促進學生的個性發展，給學生留出足夠的探索與交流空間，本章教材共安排了四個“實驗與探究”欄目、五個“交流與發現”欄目和三個“挑戰自我”欄目，這些欄目都是以問題或問題串的形式給出，具有啟發性，引導學生進行觀察、實驗、操作、思考、探索、交流、歸納，從而發現有關的結論. 這些欄目提出的問題或問題串能促使學生經歷知識的形成過程，探索和理解有關的內容，滿足了學生多樣化的學習需要，對于學生創新個性的形成具有重要的意義.

1．3．4 呈現形式豐富多彩

新教材按照《標準》的要求，采取了豐富多彩、獨具一格的呈現形式，就本章而言，除上面的1.3.3已經談到的“實驗與探究”、“交流與發現”和“挑戰自我”等欄目外，還主要表現在：

①章頭圖是古老的埃及金字塔的照片，顏色呈“金色”，側面形狀為三角形，并在醒目的位置顯示出該章的內容提要和引出本章學習內容的“情境導航”欄目. 讓我們能從總體上感知本章將要學習的主要內容.

②設置了“廣角鏡”、“智趣園”等欄目. 本章教材共有四個“廣角鏡”欄目和1個“智趣園”欄目，這些欄目圖文并茂，向學生介紹了一些與本章內容有關的知識，拓寬了學生的視野，調動了他們學習的積極性.

例如，在15.5安排的“廣角鏡”欄目就尺規作圖的基本知識作了簡單的介紹，這樣有助于學生學習本節的知識.

③“小亮”、“小瑩”和“小博士”三個形象的出現使新教材更具有趣味性和可讀性，他們分別代表學生和教師，在“正文”不宜介紹或不好處理的時候，他們的及時出現彌補了這一處理技術上的不足，從而實現了人書對話，促進學生與學生、學生與老師之間的有效交流.

例如，在15.4例2的第（2）問求出兩個同心圓的半徑之差約為0.159米后，小亮說“兩圓之間能伸進一個人的拳頭”. 這樣使得新教材鮮活生動，富有可讀性，適合學生的心理特點.

1．3．5 注重現代信息技術與數學教學內容的整合

以計算機、多媒體和網絡技術為標志的現代信息技術在當代的迅猛發展，對傳統的教學模式形成了巨大的沖擊，獵AI的出現引發了教育技術的深刻變革，我們的新教材為適應這種形勢，非常重視現代信息技術在數學教學中的運用.

例如，在第169頁安排的“廣角鏡”欄目就向同學們介紹了用計算機畫幾何圖形的方法. 主要介紹了三種常見幾何圖形（畫一條線段等于已知線段、畫一個角等于已知角、已知兩角和它們的夾邊，畫三角形）的畫法.

類似這樣的問題，用計算機處理可以擴大學生的視野，增強學生的學習興趣，感悟現代技術的“威力”，喚起他們自覺使用現代技術的意識.

2 學情和學法簡析

2．1 學生在學習中常見的認識誤區和思維障礙

2．1．1 對有關的概念、性質理解不滲透

本章的概念、性質比較多，同學們經常出現對有些概念理解不透徹，不能把握其本質，從而導致錯誤的情形. 如，由于不能正確理解三角形的外角的定義“三角形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角”的本質屬性，導致不能正確的辨認三角形的外角.

2．1．2 不能正確解答有關等腰三角形的問題

在解答有關等腰三角形的問題時，常出現考慮不周或顧此失彼的錯誤. 如，在解答問題“等腰三角形一腰上高與另一腰的夾角為50°，求它的底角”時，應考慮等腰三角形一腰上高在三角形內部和外部兩種情況，從而得到所求底角為70°或20°兩個答案. 而同學們解答類似這樣的問題時，經常是只能得到一個答案，這就出現漏解的現象.

2．1．3 不能正確敘述尺規作圖的方法

由于在學習本章內容之前，學生都是運用畫圖工具畫圖，所以對于用尺規作圖來說，學生一時不適應，常出現會作圖，但不會說（寫）作法的現象.

2．2 學法指導

2．2．1 展示概念的形成過程

平面圖形的有關概念都有形成的過程. 在引導學生學習有關的概念時，一定要結合具體的圖形，抓住圖形的特點進行分析，讓學生仔細觀察、思考這些圖形的本質特征，在此基礎上，歸納出概念的本質屬性.

2．2．2 對于重點內容，鼓勵學生自主探究

教師們在教授本章的重點內容時，應努力體現《標準》的理念，給學生留有足夠的用于探索與交流的空間. 對于重點內容，要精心設計教學情境，引導學生進行觀察、思考、探究和相互交流，在相互交流的基礎上，得到有關結論. 本章的重點內容之一是多邊形的內角和公式，對于這個公式，可通過填寫表格中的數據，引導學生探索有關的規律，提出猜想，然后加以一般性的說理，使學生經歷發現規律的全過程.

2．2．3 在學生獨立思考的基礎上進行合作交流

例如，在用集合語言給出圓的概念后，引導學生類比圓的敘述方式，用集合語言描述圓的外部和內部時，可鼓勵學生自己獨立思考與描述，然后進行相互交流，在相互交流的過程中，完成對圓的外部和內部的認識，這樣既掌握了這兩個概念，又提高了學生自己的語言表達力.

2．2．4 注重知識的應用

多邊形的密鋪有著廣泛的理解和應用，在學生熟練掌握了密鋪的有關知識的基礎上，引導學生解答一些與生活、生產有關的實際問題，這樣安排一方面強化了對密鋪概念的應用，形成了用所學知識解決實際問題的意識；另一方面，可以把密鋪的技能訓練與實際問題的解決融為一體，達到在解決實際問題的過程中，鞏固和提高學生進行密鋪設計的能力，同時還對學生進行了數學美的熏陶教育.

3 教學建議

3．1 注重過程教學

新課程強調過程，特別強調學生探索知識的經歷和對獲得新知識的體驗. 本章中三角形、多邊形和圓等有關的概念可以使用“發生定義”的定義方式來揭示其形成過程. 教學中，我們一定要引導學生經歷它們的形成過程、抽象過程，從而把握其本質，初步形成幾何建模的意識.

案例1 圓的定義的形成過程.

圓是生活中常見的幾何圖形，教學中，教師應利用實物或課件，演示圓的生成過程，在此基礎上，從動和靜兩個方面來揭示圓的本質，從而形成圓的兩種定義：

（1）“動”的形成過程

如圖1，在平面內線段OA繞固定的端點O旋轉一周，另一個端點A所描出的封閉曲線叫做圓. 圓的形成過程由“線段…旋轉一周，另一個端點所描出”給出.

（2）“靜”的形成過程

引導學生參與新教材第162頁“實驗與探究”中所設計的一系列數學活動，發現平面內一點與圓的位置關系，經歷圓的集合定義的形成過程.

3．2 注重變式訓練

本章內的概念較多，為使學生更好的把握概念的內涵和外延，可通過變式訓練，給出一些非本質性的、容易混淆的概念，讓學生自己去識別、辨認，從而加深對所學概念理解.

案例2 關于三角形的三條主要線段的理解.

學生在剛學習三角形的三條主要線段（中線、高線、角平分線）時，常出現錯誤. 為幫助學生更好的理解這些概念，教學中可引導學生思考下面的問題：

（1）如圖2（1），已知∠BAD=∠CAD，射線AD是△ABC的角平分線嗎？

（2）如圖2（2），已知點D為BC邊的中點，線段AE為△ABC的中線嗎？

（3）如圖2（3），已知在△ABC中，AD⊥BC于D，線段AD是△ABC的高嗎？（學生思考、交流、討論）

3．3 重視數學思想方法的滲透和應用

在本章主要涉及四種數學思想方法，其中最為突出的是分類討論和轉化的思想. 教學中要重視對學生進行數學思想方法的訓練. 這樣處理既有助于引導學生關注數學知識之間的聯系，更有助于學生數學素質的提高.

案例3 已知等腰三角形的周長為21厘米，如果它的一邊長為8厘米，求其它兩邊的長.

在解答這個問題時，就要用到分類討論的思想，對于給定的長為8厘米的邊可能是等腰三角形的腰，也可能是底邊，因此必須分兩種情況進行討論.

案例4 探索四邊形的內角和.

05

在引導學生探索四邊形的內角和時，添加輔助線把四邊形分割成三角形的過程，體現了轉化的思想. 教學時要把重點放在引導學生思考如何就能把四邊形的內角和的問題轉化為三角形的內角和的問題. 同時引導學生通過思考，發現添加輔助線的方法有多種，如圖3.

3．4 重視尺規作圖的教學，培養學生畫圖、作圖基本技能的形成

在學習本章內容之前，學生畫圖要運用畫圖工具，即使用刻度尺、三角尺和量角器等. 本章第15.5節介紹“尺規作圖”的基本過程和常用的兩種基本作圖，這里的“尺”是指沒有刻度的直尺，“規”指圓規. 教學中，教師應先向同學們介紹尺規作圖的悠久歷史、尺規作圖在數學發展中的意義及與尺規作圖有關的歷史故事，以進一步激發學生的學習興趣. 本節課的例1、例2是利用尺規完成的兩種基本作圖，教學時，教師可一邊示范作圖，一邊敘述作圖語句，作后總結作圖的步驟. 對于這兩個例題，要把重點放在作圖方法的敘述上，在教師示范作圖后，要引導學生自己獨立完成它們，啟發學生把自己的語言與新教材中的規范語言進行對比，體會數學語言的準確性和簡潔性，逐步使自己的語言規范化，進而掌握尺規作圖的基本技能.

案例5 已知三邊作三角形.

學生學會了利用尺規作兩種基本作圖后，要引導他們利用這兩種基本作圖解決一些簡單的作圖問題. 對于已知三邊作三角形，通過分析讓學生知道本例實質上就是利用尺規作三條線段，從而達到用基本圖形解決這一作圖問題的目的.

3．5 尊重學生的個體差異，滿足學生多樣化的學習需求

《標準》特別強調要改變學習方式，鼓勵學生自主發展. 為落實這一要求，教師在問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等環節上，要盡可能的讓所有的學生都能主動積極的參與，提出各自的解決策略，并引導學生在與他人的合作交流中，提高自己的思維水平，使自己的個性得以尊重和發展，只有這樣才能為學生今后的創新發展打好基礎.

案例6 某學校欲在一空閑處建立一個涼亭子，請同學們設計一個密鋪該涼亭子地面的方案.

對于這個問題，教師應組織學生去觀察涼亭子地面的大小，鼓勵學生思考、探索、交流，設計出充滿個性的圖案. 并在小組和全班內讓學生交流自己的設計作品，在此基礎上，篩選出設計方案來.

以上是筆者通過研究新教材和《標準》，對“平面圖形的認識”一章所作的教學研究，希望能為實驗教師的教學提供一點幫助. 同時，對于不妥之處也敬請讀者批評指正，以便創造性地使用新教材，并為以后該教材的重版積累資料. 共同為學生的發展、為我國數學教材的建設做出自己應有的貢獻. プ髡嘸蚪榧本刊2008年第4期（總第215期第4頁）.