巧設未知數

王金燕

在運用一元一次方程解應用題時，設未知數是順利列方程解應用題的關鍵. 若能根據題目中各個量之間的數量關系特點設合適的未知數，就會降低列方程和解方程的難度，提高解題效率，達到事半功倍的效果. 當問題中需要求出多個未知量時，這一點顯得尤為重要. 針對數量關系類型不同的應用題，在設未知數時應靈活處理區別對待.

1 設被比的一方為x

當所求的未知量有兩個，且它們在應用題中存在倍數關系時，我們往往應設被比的一方為x. 這樣在用含x的代數式表示另一方時更簡單直接，列出的方程更容易解答.

例1 用一根繩量井深. 把繩3折來量，井外余繩4尺；把繩4折來量，井外余繩1尺. 井深和繩長各是多少尺？

分析 “把繩3折來量，井外余繩4尺”應理解為：繩長比井深的3倍多3×4尺；“把繩4折來量，井外余繩1尺” 應理解為：繩長比井深的4倍多4×1尺. 題目中要求的未知量是繩長和井深. 如果設繩長為x尺，則井深為（x/3-4）尺、（x/4-1）尺，那么用來表示井深的代數式出現了分數，這給解方程增加了難度. 如果設被比方井深為x尺，則繩長為3（x+4）尺、4（x+1）尺. 顯然，這樣可以避免這個不必要的麻煩.

解 設井深為x尺，根據題意列出方程得:

解之得：x=8,

所以3（x+4）=36.

所以井深是8尺，繩長是36尺.

以上解答避免了分數的出現，降低了解題難度.

2 設中間的量為x

當所求的未知量在兩個以上，并且是一組有規律的數，應設中間的量為x. 這時在解答過程中我們能充分體驗到運用相反數的性質所帶給我們的快捷.

例2 從一份月歷上圈出一個豎列，相鄰的五個日期之和為85. 這五個日期各是幾號？

分析 我們知道月歷上同一數列上相鄰兩個日期的差都是7，依據這個特點設中間的數為x，其它四個數用含x的代數式分別表示為（x-7）、（x+7）、（x-14）、（x+14），這種表示簡潔明快，更有規律性.

解 設中間的數為x，根據題意得:

（x-7）+（x+7）+ x+（x-14）+（x+14）=85，

5x =85，x=17,

所以x-7=10，x+7=24，x-14=3，x+14=31. 所以這五個日期分別是3號，10號，17號，24號，31號.

解答中，7與-7，14與-14這兩組相反數的引入，使有理數的運算更簡便.

3 設與所求數值均有關的量為x

當所求的未知量是多個，并且這幾個量之間沒有很直接的關系，或者它們之間的關系表達起來比較復雜，這是我們往往要找一個與這幾個量都有直接關系的量來充當未知數x，起到輔助解題的作用.

例3 把99拆成4個數，使得第一個數加2，第二個數減2，第三個數乘2，第四個數除以2，得到的結果都相等. 應該怎樣拆？

分析 本題中的四個要求的數之間沒有直接的聯系，任意設其中一個為x，其它的數表示起來都有困難. 而這四個數變化以后的結果是同一個數，如果設這個相同的結果為x，那么這四個數的表示就會簡單很多.

解 設這個相同的結果為x，則第一個數為（x-2），第二個數為（x+2），第三個數為[SX(]x[]2[SX)]，第四個數為2x，根據題意得：

（x-2）+（x+2）+x/2+2x=99，

化簡整理得：9x/2=99,解之得：x=22.

所以x-2=20，x+2=24，x/2=11，2x=44.

所以99應拆成20、24、11、44這四個數.