“輔助圓”——學生不大熟悉的重要輔助線

方世超

解幾何題時，經常需要添加輔助線，而教科書上的例題僅出現過添加線段（直線）為輔助線的情形，沒有出現添加輔助圓的例子，但是，“輔助圓”也是一種重要輔助線，用于解答有關題目常常能起到事半功倍的效果.現特舉幾例，與各位同仁共同探討.

1 若幾個點（3個以上）到同一個點的距離相等，則可依圓的定義作輔助圓

ダ1 如圖1，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，求證：∠BAC=2∠BDC.

ニ悸1由AB=AC=AD想到，以AB為半徑作⊙A，則B、C、D都在⊙A上，由圓周角定理可得∠BAC=2∠BDC.

ニ悸2 由“等邊對等角”可得，2∠ADC=2∠ACD=180°-∠DAC，2∠ADB=2∠ABD=180°-∠DAB，所以2∠BDC=2∠ADC-2∠ADB=∠DAB-∠DAC=∠BAC.

[TP13a.TIF,BP][TS(][JZ]圖1圖2[TS)]

例2 如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD的長.

ニ悸 由AB=AC=AD想到，以AB為半徑作⊙A，則B、C、D都在⊙A上，作⊙A的直徑BE，連結DE，則∠BDE=90°，因為AB∥CD，所以∠ABD=∠BDC，所以〥E猍TX(]=〣C猍TX(]，所以DE=BC=6，所以BD=[KF(]BE2-DE2[KF)]=[KF(]102-62[KF)]=8.

ヌ砑癰ㄖ圓的方法，對例1真可謂事半功倍，對例2則可謂“舍我其誰”了！

2 若幾個直角三角形的斜邊公共，則可以公共斜邊為直徑作圓

ト」共斜邊的中點，由“斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知，這幾個直角三角形的所有頂點都在以公共斜邊的中點為圓心、公共斜邊的一半為半徑的同一個圓上.

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