淺析在高等數學教學中滲透建模思想

【摘要】全國高等院校數學課程指導委員會提出：要加強對學生建立數學模型并利用計算機分析處理實際問題能力的培養和訓練。同時大學生自己在學習時也喜歡更多地思考所學知識的價值，喜歡探究一些具有挑戰性的問題，喜歡親自動手操作實踐，數學建模正好契合了學生的這種需要。

【關鍵詞】高等院校；數學教學；建模

【中圖號】G640【文獻標示碼】A【文章編號】1005-1074(2008)10-0124-01

全國高等院校數學課程指導委員會提出：要加強對學生建立數學模型并利用計算機分析處理實際問題能力的培養和訓練。同時大學生自己在學習時也喜歡更多地思考所學知識的價值，喜歡探究一些具有挑戰性的問題，喜歡親自動手操作實踐，數學建模正好契合了學生的這種需要。教師可以在高等數學教學中適當滲透數學建模的思想，創設適當的問題情境，體現從實際問題中抽象出數學模型的過程以及用數學知識解決實際問題的思想方法，也可以從數學建模的角度介紹一些數學的發展過程。這種教學方式調動了學生應用數學知識分析和解決實際問題的積極性和主動性，學生充滿了把數學知識和方法應用到實際問題之中去的渴望，從而讓學生感受到數學的理論價值、應用價值和文化價值，激發學生學習數學的興趣和熱情。

1在概念引入教學中融入建模思想

高等數學中的概念相比初等數學中的概念更為抽象，如極限、連續、導數、定積分等，學生在開始學習這些概念的時候總想知道這些概念的來源和應用，希望在實際問題中找到概念的原型。事實上，在高等數學的微積分概念的形成中本身就滲透著數學建模思想。因此在數學概念的引入時，融人數學建模過程是完全可行的，每引出一個新概念，都應有一個刺激學生學習欲的實例，說明該內容的應用性。在概念引入教學中應創設與概念緊密聯系的實際問題情境，讓學生了解概念的來龍去脈，同時展現從實際問題中抽象出數學概念的過程，引出數學概念，建立數學模型，體會數學地處理問題的方法。如在導出定積分的概念時，設計如下教學過程：實際問題：①如何求變速直線運動的路程？②如何求不規則圖形的面積？問題提出后引導學生建立模型。先看問題①，如果速度是不變的，那么，路程＝速度×時間。問題是這里的速度不是一個常數，所以上述公式不能用。我們可以這樣考慮：把時間段分為許多小區間，當時間段分割的足夠小時，由于速度的變化是連續的，可以認為各小區間段內的速度是勻速的，即小區間內的速度看作是一個常數，用這一小段的時間乘速度就是這一小段的近似路程，把所有小段時間的路程加起來就得到路程的近似值，要想得到精確的值，就要把分割無限地加細，使每個小區間段的長度都趨于零，這時所有小區間段上的路程之和的極限就是所求的路程。再看問題②，求不規則圖形的面積，歸結為求曲邊梯形的面積的問題，類似問題①的分析，通過分割、近似、求和、取極限轉化為一個和式的極限：若該極限存在，則稱此極限值為函數在區間上的定積分，記作，從而抽象出定積分的概念。

2在應用問題教學中滲透建模思想

例如，“微元法”是高等數學中最基本、最重要、最有實用價值的思想與方法之一，是高等數學得以廣泛應用的基礎，也是應用微積分描述實際問題，構成數學模型的基礎。我們在教學實踐中也發現許多工科的學生對利用“微元法”思想解決實際問題這部分內容很感興趣。因此，要將它貫穿于課程教學的全過程。通過結合幾何學、物理學、經濟學、生命科學及軍事科學的大量實例，加深對高等數學的歷史與現實背景的理解，增強應用數學去理解、描述實際問題的能力，培養數學建模的初步能力。導數的應用可安排講些諸如瞬時速度、切線斜率、邊際利潤、邊際成本等求實際問題的例子；極值問題部分內容可講些資源管理、最大利潤、造價最低、征稅問題等；微分方程一章除了介紹課本中物理、幾何等方面的應用題外，還可以插入生物增長模型、生物競爭模型等例子，這樣可以使學生在較簡單的實際問題中提煉微分方程，并且求解。以存貯模型為例，可設置如下的教學案例。現實問題：已知某產品日需求量100件，生產準備費5000元，貯存費每日每件1元。試安排該產品的生產計劃，即多少天生產一次（生產周期），每次產量多少，使總費用最小。問題分析與思考：日需求100件，準備費5000元，貯存費每日每件1元。先從具體入手：若每天生產一次，每次100件，無貯存費，準備費5000元，則每天費用5000元；若10天生產一次，每次1000件，貯存費900+800+…+100＝4500元，準備費5000元，總計9500元，則平均每天費用950元；若50天生產一次，每次5000件，貯存費4900+4800+…+100＝122500元，準備費5000元，總計127500元，則平均每天費用2550元。那么，是否10天生產一次平均每天費用最小?現分析如下：若生產周期短，則每個周期產量小，貯存費少，但準備費多；若生產周期長，則每個周期產量大，準備費少，但貯存費多。因此，存在最佳的周期和產量，使總費用（二者之和）最小，這是一個優化問題，需要建立生產周期、產量與需求量、準備費、貯存費之間的關系，關鍵是建立目標函數。這顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數，目標函數應為每天總費用的平均值。模型假設：①產品每天的需求量為常數；②每次生產準備費為 ，每天每件產品貯存費為；③天生產一次（周期），每次生產件，當貯存量為零時，件產品立即到來（生產時間不計）；④為方便起見，時間和產量都作為連續量處理。本文闡述了在高等數學教學中滲透建模思想不但能夠激發大學生數學學習的興趣，體會數學的實用價值，而且能夠發展大學生的辯證邏輯思維、創造性思維以及元認知能力。