幾何畫板與高中函數(shù)教學(xué)整合研究

【摘要】數(shù)形結(jié)合的思想是幾何畫板與函數(shù)教學(xué)整合的切入點(diǎn)，通過幾何畫板動(dòng)手實(shí)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)點(diǎn)。通過教學(xué)整合，不但能突出函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)，突破教學(xué)的難點(diǎn)，而且能使學(xué)生學(xué)得開心，教師教得舒心，最終提高了函數(shù)教與學(xué)的雙重效率。

【關(guān)鍵字】幾何畫板；函數(shù)；整合

【中圖分類號(hào)】G40-057 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【論文編號(hào)】1009—8097（2008）13—0083—03

新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)注重信息技術(shù)與學(xué)科課程的整合，指出現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)學(xué)科課程內(nèi)容、學(xué)科教學(xué)、學(xué)科學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。“信息技術(shù)與課程的整合”是我國面向21世紀(jì)基礎(chǔ)教育教學(xué)改革的新視點(diǎn)。為適應(yīng)新教改和“新課標(biāo)”要求，教師必須更新觀念，注重教學(xué)過程中角色的轉(zhuǎn)變，在學(xué)科教學(xué)中充分有效的運(yùn)用各學(xué)科教育技術(shù)平臺(tái)，利用多媒體信息技術(shù)來輔助呈現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)中不能或難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行培養(yǎng)觀察、猜測(cè)、交流、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、推理等自主探究的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

幾何畫板是理科教學(xué)比較成熟的軟件平臺(tái)，它為老師和學(xué)生提供了一個(gè)探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境，它能把比較抽象的幾何圖形形象化，使靜態(tài)圖形動(dòng)態(tài)化、抽象的概念形象化、枯燥的內(nèi)容趣味化；促進(jìn)學(xué)生提高從學(xué)科的角度發(fā)現(xiàn)、提出、探究和解決問題的能力，加強(qiáng)學(xué)生的表達(dá)、交流及使用信息技術(shù)的能力，從而提高了課堂教學(xué)效率。作為信息時(shí)代的教師有必要學(xué)會(huì)使用現(xiàn)代化的教學(xué)工具，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候充分利用它們來輔助自己的教學(xué)過程，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富多彩的教學(xué)情境，增設(shè)疑問，巧設(shè)懸念，激發(fā)學(xué)生獲取知識(shí)的求知欲，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生由被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，積極配合課堂教學(xué)，主動(dòng)參與教學(xué)過程，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)方式在直觀感、立體感和動(dòng)態(tài)感等方面的不足，為教師突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，提高課堂效率奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，從達(dá)到課堂教學(xué)最優(yōu)化；幾何畫板平臺(tái)正好是能幫助老師有效地達(dá)到這一教學(xué)效果的課件制作平臺(tái)之一。

一 函數(shù)教學(xué)

函數(shù)是高中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，函數(shù)的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，是高中數(shù)學(xué)課程的知識(shí)主線，在學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知及傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境條件下，學(xué)生所接觸到的函數(shù)一般都是函數(shù)解析式固定、函數(shù)圖像不變的情形，怎么樣才能讓學(xué)生更好的理解和掌握含參變量函數(shù)的性質(zhì)、圖像隨參數(shù)動(dòng)態(tài)變化的過程，以及對(duì)函數(shù)中抽象數(shù)學(xué)符號(hào)的理解和掌握？這些都是傳統(tǒng)教學(xué)中難以解決的問題。

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，即“數(shù)”與“形”結(jié)合的問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。對(duì)于學(xué)生來說，函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖像和函數(shù)的性質(zhì)之間怎樣相互聯(lián)系，一直是難以理解的問題在傳統(tǒng)教學(xué)中，由于教學(xué)手段的限制，只能畫出特定參數(shù)下靜態(tài)的函數(shù)圖像，不但不能準(zhǔn)確反映出解析式、圖像和性質(zhì)三者之間的固有聯(lián)系，而且還占用了大量的課堂時(shí)間。正如華羅庚所說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微。”如何真正實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，這也是傳統(tǒng)教學(xué)所面臨一個(gè)難題。

1 函數(shù)教學(xué)中存在的問題

在函數(shù)教學(xué)過程中，教師普遍反映：

（1） 初、高中函數(shù)知識(shí)跨度大、較抽象，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)很難把握。

（2） 很多函數(shù)符號(hào)對(duì)學(xué)生來說是陌生的、抽象的，能否利用已有函數(shù)知識(shí)來學(xué)習(xí)新函數(shù)，怎樣建立起它們之間的聯(lián)系是一個(gè)難點(diǎn)。

（3） 對(duì)于連續(xù)函數(shù)的圖像，用傳統(tǒng)教學(xué)中的描點(diǎn)作圖法顯得無能為力，怎樣來呈現(xiàn)這個(gè)連續(xù)性是教學(xué)中的難點(diǎn)問題。

（4） 分段函數(shù)的概念、定義域、圖像、以及作圖過程是教學(xué)中學(xué)生難以理解和實(shí)現(xiàn)的問題。

（5） 函數(shù)圖像的各種變換（平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換）是傳統(tǒng)教學(xué)中老師難以呈現(xiàn)的問題。

（6） 含參數(shù)變量函數(shù)的圖像變換及其性質(zhì)（由各參數(shù)變化引起的函數(shù)圖像的各種變化）也是教學(xué)過程中老師難以實(shí)現(xiàn)的問題。

（7） 根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來研究函數(shù)單調(diào)性，極值問題屬高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，用代數(shù)與幾何的方法(數(shù)形結(jié)合法)來研究很方便，但教師很難在傳統(tǒng)教學(xué)中呈現(xiàn)出來。

（8） 數(shù)形結(jié)合法解題是解決數(shù)學(xué)問題的一種非常有效的方法，如應(yīng)用函數(shù)圖像解不等式問題，但在傳統(tǒng)教學(xué)中教師卻很難準(zhǔn)確地將圖形畫出來。

（9） 在探究學(xué)習(xí)由函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，往往需要通過觀察一些特殊點(diǎn)來猜測(cè)某個(gè)性質(zhì)，然后再證明猜測(cè)的結(jié)論，可是特殊點(diǎn)地尋找是傳統(tǒng)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。

（10） 由圖像性質(zhì)求解析式及軌跡問題是傳統(tǒng)教學(xué)中難以實(shí)現(xiàn)的問題，也是學(xué)生難以理解的內(nèi)容之一。

二 解決問題

面對(duì)這一系列傳統(tǒng)教學(xué)方式難實(shí)現(xiàn)及講清楚的問題，如果利用數(shù)形結(jié)合的思想，這一個(gè)個(gè)難題就能迎刃而解。幾何畫板正是能很好實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的教育軟件平臺(tái)之一，這也正是幾何畫板與高中函數(shù)教學(xué)整合的切入點(diǎn)，在高中函數(shù)教學(xué)中，老師可以充分利用幾何畫板這一特性來整合自己的教學(xué)，真正體現(xiàn)了讓數(shù)學(xué)貼近生活，讓學(xué)生動(dòng)手操作的新課程理念，幫助自己化解教學(xué)難點(diǎn)，突破教學(xué)重點(diǎn)，提高課堂效率，達(dá)到最佳的教學(xué)效果。

1 利用幾何畫板整合高中函數(shù)教學(xué)

案例一：二次函數(shù) 的函數(shù)圖像。

（1） 整合

通過幾何畫板與二次函數(shù) 教學(xué)的整合，利用幾何畫板中二次函數(shù)的圖像，讓二次函數(shù)頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向一目了然，充分呈現(xiàn)二次函數(shù)解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)a、一次項(xiàng)系數(shù)b及常數(shù)項(xiàng)c之間的聯(lián)系。

整合后，教師通過改變二次函數(shù) 中的參數(shù)a、b、c，讓其值作相應(yīng)的變化，從而使二次函數(shù)圖像也隨之作出相應(yīng)的變化。通過觀察這一系列動(dòng)態(tài)演示過程和自己實(shí)際動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生便能輕松得出二次函數(shù) 的圖像與其參數(shù)具有如下的關(guān)系：

1） 系數(shù)a與二次函數(shù) 的圖像關(guān)系：拖動(dòng)點(diǎn)a改變a值時(shí)可得：

①開口方向。當(dāng)a >0時(shí)，開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開口向下；當(dāng)a=0時(shí)，拋物線變成了一條直線，故二次項(xiàng)系數(shù)a≠0；當(dāng)|a|越大時(shí)，拋物線的開口越小；當(dāng)|a|越小時(shí)，拋物線的開口越大（a≠0）。

②對(duì)稱軸和頂點(diǎn)的位置會(huì)發(fā)生變化。

③與y軸的交點(diǎn)不變化。

2） 系數(shù)b與二次函數(shù) 的圖像關(guān)系：拖動(dòng)點(diǎn)b改變b值時(shí)可得：

①開口大小、方向不發(fā)生變化；

②對(duì)稱軸、頂點(diǎn)的位置發(fā)生了變化；

③與y軸的交點(diǎn)不發(fā)生變化。

3） 系數(shù)c與二次函數(shù) 的圖像關(guān)系：拖動(dòng)點(diǎn)c改變c值時(shí)可得：

①開口大小、方向不發(fā)生變化；

②對(duì)稱軸、頂點(diǎn)的位置不發(fā)生變化；

③與y軸的交點(diǎn)發(fā)生了變化。

（2） 知識(shí)點(diǎn)

二次函數(shù) 圖像中，a決定開口方向和大小；a、b共同決定對(duì)稱軸 ；a、b、c共同決定頂點(diǎn) 。

（3） 整合案例分析

1） 傳統(tǒng)教學(xué)中手工繪制函數(shù)圖像不但費(fèi)時(shí)、費(fèi)力、效益低，而且很難實(shí)現(xiàn)函數(shù)解析式中的系數(shù)改變時(shí)函數(shù)圖像的變化過程。通過幾何畫板，不但可以快捷精確地繪制出各種函數(shù)圖像，而且呈現(xiàn)出函數(shù)圖像真正“動(dòng)”起來的過程，讓傳統(tǒng)教學(xué)中只能用語言描述的情景變成了具體的、動(dòng)態(tài)的圖像；更重要的是可以讓學(xué)生自己親手做，親身體驗(yàn)、觀察，真正實(shí)現(xiàn)了“在做中學(xué)”，“玩中學(xué)”，在動(dòng)手做的過程中發(fā)現(xiàn)解析式系數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖像的影響及相互之間的聯(lián)系；在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中，既培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，又提高了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，為下一步繼續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2） 通過利用幾何畫板來對(duì)函數(shù)教學(xué)進(jìn)行有機(jī)整合，突破了以前黑板加粉筆所不能達(dá)到的動(dòng)態(tài)圖象變化，使學(xué)生直觀感受到數(shù)形結(jié)合在學(xué)習(xí)及解題中的運(yùn)用。

3） 通過整合，學(xué)生不但可以使用幾何畫板來進(jìn)行探究和驗(yàn)證性學(xué)習(xí)，而且還可能產(chǎn)生生成性知識(shí)。這正與布魯納的發(fā)現(xiàn)式教學(xué)理論不謀而合。

4） 通過整合，也可輕松完成諸如：三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)學(xué)函數(shù)的各種性質(zhì)的教學(xué)。

2 利用幾何畫板整合高中函數(shù)教學(xué)案例二

函數(shù) 到函數(shù) 的圖像變化。

（1） 整合

通過幾何畫板與函數(shù) 教學(xué)的整合，可以形象直觀得到由函數(shù) 的圖像依次經(jīng)變換得到的、 、的函數(shù)圖像。

整合后，教師可以通過改變A、 、 、c的值，讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像變化，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，研究函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)圖像，再由函數(shù)圖像解決求函數(shù)關(guān)系式等問題，利用這一典型的數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生就可以得出：

①A 改變的是圖像的振幅;

② 改變的是圖像的周期;

③ 改變的是圖像的左右平移;

④c 改變的是圖像的上下平移，以及01， 和 對(duì)應(yīng)的是伸長還是縮短的關(guān)系； 對(duì)應(yīng)的是左還是右，是上還是下的關(guān)系。

（2） 整合案例分析

1） 無論使用哪種方法手工繪制三角函數(shù)圖像都是費(fèi)時(shí)且低效的，而利用幾何畫板，則可以比較便捷地繪制出各種三角函數(shù)圖像，并且讓三角函數(shù)圖像真正“動(dòng)”起來，讓學(xué)生通過實(shí)踐觀察，發(fā)現(xiàn)解析式系數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖像的影響及相互之間的聯(lián)系。

2） 用幾何畫板來講解和研究三角函數(shù)，既突破了傳統(tǒng)教學(xué)不能呈現(xiàn)三角函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)圖變化過程，又克服老師只能講一講，學(xué)生只能想一想的機(jī)械式教學(xué)，使學(xué)生直觀感受到數(shù)形結(jié)合在學(xué)習(xí)及解題中的運(yùn)用。

3） 利用幾何畫板學(xué)生也可以親手去繪制各種三角函數(shù)的圖像，并完成其動(dòng)態(tài)效果，最終實(shí)現(xiàn)在玩中學(xué)數(shù)學(xué)。

三 結(jié)語

通過幾何畫板與函數(shù)教學(xué)的整合，為教師的教和學(xué)生的學(xué)構(gòu)建起了一個(gè)做數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，利用此平臺(tái)可以便捷地構(gòu)造幾何模型、繪制函數(shù)的圖像，使學(xué)生能清晰發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律，既突出了函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)，又突破了函數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)，使得一些說不清、道不明的問題迎刃而解；同時(shí)還可以用它來演示、驗(yàn)證學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和猜測(cè)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和內(nèi)涵的理解，激起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)規(guī)律學(xué)習(xí)和探索的欲望，提高他們學(xué)習(xí)的積極性和自主性，強(qiáng)調(diào)了發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，提高了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，并使之上升為理性認(rèn)識(shí)，達(dá)到了新課程下研究性學(xué)習(xí)的目的，最終提高了教與學(xué)的雙重效率。

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