年期折現因子和哥登模型乘數

[摘 要] 本文主要介紹年期折現因子(ADF)的來源以及哥登模型。所謂ADF就是對于有限系列現金流，在假設其第一個現金流等于1元時按恒定增長率或零增長率增長折現的現值。這樣，在收益法評估中，第一年的現金流乘以ADF就等于第一年到第n年的系列現金流在時間坐標為零時的現值。

哥登模型乘數的含義與ADF是類似的，只是其為期限趨于無限的現金流在第一個現金流等于1元時按恒定增長率或零增長率增長折現的的現值。當采用哥登模型乘數時，折現率必須大于增長率，而ADF沒有這個限制。

一、概述

資金的時間價值是金融分析技術的支柱，也是企業價值評估、無形資產評估和不動產評估中的技術支柱。由于不同時間的現金流具有不同的價值，資產評估中常常需要計算現金流的現值或其未來價值。而年期折現因子就是計算現金流現值的重要工具。為使評估師在評估實踐中能夠更加熟練運用這一工具，本文擬對其作一紹介。

所謂年期折現因子（ Annual Discount Factor，以下稱ADF）就是對于有限系列的現金流，在假設第一個現金流等于1元，并按恒定增長率或零增長率增長的情況進行折現的現值。那么，在資產評估中，將企業或資產第一年實際發生的現金流乘以ADF就等于這一時間間隔為從第一年到第n年的這個企業或資產系列現金流在時間坐標為零（即第一年年初時）的現值。

由于現金流本身情況的變化，ADF也會有幾種變化。主要變化的情況有：

1.現金流是保持常數不變，還是增長的或遞減的？

2.現金流是發生在年中，還是在年末？故有年中ADF和年末ADF之分。

3.現金流是從第一年開始還是從別的什么時間開始？

4.是每年都有現金流還是有規律地跳過一些年份？

5.完結時是一個完整的年份還是在一年的幾分之幾？如果現金流結束在某一年的幾分之幾時段上，那么應該采用殘余時間段的ADF公式。

ADF是有限系列現金流的年期折現因子。當這個有限序列現金流的期限變為無窮大時，且現金流的增長率為一常數，則現金流的年期折現因子就變為哥登模型（Gorden Shapiro 1956）乘數。所以，哥登模型乘數就是恒定增長率下的永久年金的折現因子。

二、年末現金流的ADF

由于ADF 的定義是第一年開始的現金流為1元，按恒定增長率n年內現金流折現的現值。因此，我們可以用第一年的預測現金流乘以ADF，就可以得出整個現金流系列的現值。舉例說，如果ADF = 8.467，第一年的現金流是10，000元，那么整個年期現金流的PV就是8.467×10，000 = 84，670元。

為了簡化復雜的預測工作，在收益法評估中一般都假設預測的現金流是年末現金流，且是具有恒定年增長率的現金流。

在本文的ADF計算中，采用各種符號的定義如下:

r:折現率

g:現金流的年增長率

PV:現值

CF:現金流

n:現金流的終止年份

t:時間（某一個時點或某一年）

ADF的公式推導如下：設第一年的現金流為1元，以后年份按恒定增長率逐年增長，并假定現金流發生在每年的年末，則年期跨度為n年的現值PV為：

由于ADF即第一年開始的現金流為1元，按恒定增長率n年內現金流折現的現值，因此：

下一步，我們再進行一些代數運算，可得出關于ADF的一系列公式。

我們可以將方程（1）的兩邊都乘以(1+g)/(1+r)，則得到方程（2）：

然后將方程（1）的兩邊分別減去方程（2）的兩邊，則得：

將方程（3）左邊轉換:

消去(1+r)之后，上式為：

將方程（4）變換后，可以得到三種表達式。我們將這三個表達式標記為方程（4a）、(4b)與(4c)。這三種表達式在不同的情況下有其各自的用途。第一個表達式是

第二種變換形式是:

方程（4b）中的1/(r-g)就是經典的哥登模型的乘數，可以將其命名為GM，并設x = (1+g)/(1+r)，則方程（4b）可轉換為：

通過上面的表達式，我們可以對ADF與其計算參數之間的關系進行以下的分析：

1、由（1）可知，ADF與r成負相關而與g成正相關。也就是說，折現率的增加會導致ADF的減少，而增長率的增加卻會使ADF也同步增加。反之亦然。

2、當g = 0時， ADF為普通年金，每年的現金流沒有增長，方程（4）則簡化為：

其中：1/r是g = 0時永久年期的現值因子，或者說是g = 0時的哥登模型因子。

3、當n→∞，且r > g時， ADF公式即成為哥登模型。

哥登模型是企業價值評估師較熟悉的一個模型。在企業價值評估中采用現金流量折現分析（DCF）的兩階段模型時，都會用到這一模型。這是以有限預測的期末(一般是第五個預測年的年末)的現金流為永久恒定增長的現金流，計算至預測終端年份的現金流的現值。也就是對第一年到n年的現金流或凈收益折現之后，從n+1年開始，將對至無限期遠的現金流進行折現。為了使這個公式有意義，增長率必須小于折現率：即r > g。

但評估師應了解，哥登模型只是ADF的一個特殊情況。哥登模型存在兩個假設，即：

（1）時間水平線是無限延伸的，即表明我們假定現金流是以恒定的增長率g永遠增長下去，且現金流的終端年份n趨于無窮大。

（2）折現率大于增長率，即r>g。由于r>g，而且因n = ∞，所以：

此時，方程（4）為：

方程（5）就是年末現金流的哥登模型乘數。而年末現金流的哥登模型為：

其中：

CF為起始年份的預測現金流。切記不能采用企業歷史現金流數據。1/(r-g)為哥登模型乘數。用起始年份的現金流乘以它之后，便得到這一無限期恒定增長的現金流折現的現值。

三、對ADF方程的理解

我們需要更深入地了解一下方程（4）。方程右邊是兩個永久項的差。其中第一項1/(r-g)，是處于t=0的時點，從t=1到無限期遠的現金流的折現因子。第二項是處于在t=0的時點，從t=n+1到無限期遠的現金流的折現因子。這兩項的差就是處于t=0時點，從t=1到t=n這段時間現金流現值的折現因子。

而對于方程（4a）方括號中的內容，可以給出這樣的解釋。即以第一年預測的現金流為1元時，這里（1+g）n就是第n+1年的預測現金流，那么乘以哥登乘數1/(r-g)之后就得出從n+1年到無限期的預測現金流于t=n的時點上的現值。最后，除以(1+r)n就是將t=n時點的現值轉換為t=0時點的現值。

在方程（4a）中，從t=1到無限期遠的現金流的現值，以及從t=n+1到無限期遠的現金流的現值，實際上都是第一年預測的現金流為1元時不同時期的哥登模型。從圖1可以看出，ADF就是這兩個時期哥登模型的差。

四、年中現金流的ADF

大部分企業每年各時段的現金流并不是很均勻的，因此，在企業價值評估中，采用年中現金流作為折現的對象比較妥當，而不是采用年末的現金流。

年中現金流是在半年時的現金流，即折現比年末現金流要早。在年末現金流方程（1）中，分母中的指數代表的是現金流折現的時間區間，1+r 表示折現期為一年，（1+r）2表示折現期為兩年，（1+r）3表示折現期為三年……。但現在是在年中進行折現，不是在年末進行折現，則方程（1）需改變為方程（7）：

方程（7）將方程（1）各分母的折現周期減少0.5年，相當于對方程（1）的每一個分子項乘以一個（1+r）0.5。也就是年中現金流ADF是年末現金流的ADF的（1+r）0.5倍，因此，根據年末現金流ADF的公式方程（4），即可得出年中現金流下列的ADF公式方程（8）:

根據年中現金流ADF方程（8），當然我們也可以將哥登模型乘數因子提出來，得出下面的變換形式（8a）。

如果我們此時命名年中現金流的乘數/(r-g)為GM，設x = (1+g)/(1+r)，則得到（8b）。

下面用一個實例來說明年中ADF的計算。

某企業現金流預測年數為:n = 10

折現率:r = 15.0%

現金流的增長率:g = 5.1%

根據上述參數，可以計算：

變換參數 x = (1+g)/(1+r) = (1+5.1%)/(1+15.0%)

= 105.1/115.0 = 0.9139

哥登模型乘數

將這些參數代入：

ADF = GM (1 - xn ) = 10.8321×(1-0.4064)

= 6.42898

如果采用方程（1），用Excel程序來計算ADF，得到的是一個同樣的結果。

方程（8）同方程（4）的推導結果是相同的，在方程（4d）中，1/r是g = 0時永久年期的現值因子，也是g = 0時的哥登模型因子。在方程（8c）中，是永久年期的年中現值因子，即g = 0時的年中哥登模型因子。在方程（8c）中，第一項是從現金流永遠為1元時，第一年到無限期年中現金流折現價值，第二項是現金流永遠為1元時從第n+1年到無限期的年中現金流折現價值，1/（1+r）n就是t = n年的折現率。ADF就是這兩項之差，即從第一年到第n年的年中現金流的折現值。

將方程（8c）中的哥登模型因子提出來后，方程可改寫為（8d）：

2、當n→∞，且在r>g時的特殊情形下， 則方程（8）中的，則將與方程（4）轉化為方程（5）那樣，得到年中現金流的哥登模型：

五、小結

以上，我們推導了ADF，并測試了它的特殊情況（哥登模型和零增長公式），解釋了哥登模型和ADF的關系，并以同樣的方式推導了年中ADF及其哥登模型。讀者可以因此初步了解ADF和哥登模型的基本原理。但ADF的其他變化形式還有很多，根據千變萬化的需要，ADF還有許多種應用，主要包括：

● 計算年金的現值

這一應用由Mercer 在1997年提出。在Mercer所提出的定量市場流通折現模型中，ADF是增長的。目前這一模型變得越來越重要。在Mercer的有關書籍和論文中，都有關于增長ADF的計算公式。

● 在評估期間現金流價值時，如搬家費用，法律訴訟損失等，需要計算一個專用的ADF，叫期間永恒因子(PPF)。上述介紹的ADF和哥登模型都是連續年份現金流條件下的方程。當現金流存在有規律的間歇期或屬于周期變化性的現金流時，就需要應用ADF的變化形式PPF了。

此外，PPF在進行購買新設備還是舊設備的決策時，也十分有用。

● 計算貸款的現值

當融資利率小于市場利率時，ADF對于計算正確的企業資產賣價時十分重要。如在美國的雇員股票擁有計劃（ESOP）價值評估中，計算貸款的現值需要用到ADF。

● 采用ADF和哥登模型推導企業的PE常數

在推導企業的PE常數時，ADF還需要進行許多變換與推導。包括起始期不在第一年時的ADF的方程，現金流為周期性間歇時的PPF方程，現金流結束時不是年末或年中，而是在某年的某一時點，都需要專門予以計算。

參考文獻

[1]徐成賢， 薛宏剛， 金融工程計算機技術與方法科學出版社，2007.

[2]MercerZ.Christopher. Quantifying Maketability Discount: Developing and Supporting Maketability Discount in the appraisal of Closely Held Business Interests. Memphis Tenn.: Peabody，1997.

[3]Duffie D， Kan R. A yield-factor model of interest rates.Mathematical Finance，1996，6(4).

[4]Fabozzi F J. Fixed-Income Mathematics: Analytical and Statistical Techniques.New York: McGraw-Hill，1996，15.

（作者單位：中財國政（北京）資產評估公司）