數(shù)學(xué)問(wèn)題解決及其教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)問(wèn)題是以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、理論或方法才能解決的問(wèn)題。它來(lái)源于人類(lèi)的生產(chǎn)、生活實(shí)踐，來(lái)源于人們了解自然、認(rèn)識(shí)自然的科技活動(dòng)。它有以下特點(diǎn)：一是非常規(guī)性；二是重視情境應(yīng)用，給出一種情境，一種實(shí)際需求，以克服一種現(xiàn)實(shí)困難為標(biāo)志；三是探究性。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)教育的核心，基于數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)中必須遵循一定的原則和作相應(yīng)對(duì)的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能實(shí)現(xiàn)其有效教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和問(wèn)題解決能力。

一、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是指間接應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理和方法，以思考、探索為內(nèi)涵，以數(shù)學(xué)問(wèn)題目標(biāo)為定向的心理活動(dòng)或心理過(guò)程，是人們?cè)趯?shí)踐或理論學(xué)習(xí)中，面臨新情境、新課題，而這些新情境和新課題用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)不能直接解決，并且自己又沒(méi)有現(xiàn)成對(duì)策、答案或解決方法時(shí)，所引起的尋求處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種緊張心理活動(dòng)。它不同于一般的練習(xí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用。

二、問(wèn)題解決教學(xué)的理論基礎(chǔ)

問(wèn)題解決教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)理論，是針對(duì)我國(guó)目前數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，展望21世紀(jì)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的需要，將“問(wèn)題教學(xué)”、“問(wèn)題解決”和“數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”三種教育教學(xué)理論有機(jī)結(jié)合而成的。

“問(wèn)題解決教學(xué)”的理論，借鑒并拓展了“問(wèn)題教學(xué)”、“問(wèn)題解決”、“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”的理論，形成了如下的教學(xué)觀：“問(wèn)題解決教學(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)是發(fā)展性教學(xué)的高級(jí)類(lèi)型，在這種教學(xué)結(jié)構(gòu)中，教與學(xué)的過(guò)程應(yīng)包括經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化、數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化和數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用三個(gè)活動(dòng)過(guò)程。教師通過(guò)精心設(shè)計(jì)“課題”(大問(wèn)題)，使每個(gè)“課題”的解決過(guò)程包括上述三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程。教師的主導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在利用對(duì)話設(shè)計(jì)和認(rèn)識(shí)性作業(yè)，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)好“問(wèn)題”(對(duì)于“課題”來(lái)說(shuō)的小問(wèn)題)解決情境，引導(dǎo)學(xué)生圍繞“問(wèn)題”展開(kāi)學(xué)習(xí)活動(dòng)等。學(xué)生的主體作用主要體現(xiàn)在進(jìn)入“問(wèn)題”解決情境后，進(jìn)行探索式學(xué)習(xí)，并在“問(wèn)題”解決過(guò)程中，獲取知識(shí)、形成技能、發(fā)展能力。學(xué)生的探索式學(xué)習(xí)，在經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化過(guò)程中，以發(fā)展直覺(jué)思維、合情推理為數(shù)學(xué)活動(dòng)的主要內(nèi)容。在數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化過(guò)程中，以發(fā)展形式邏輯思維、合情推理為數(shù)學(xué)活動(dòng)的主要內(nèi)容。在數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用過(guò)程中，以提高數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展辯證思維和數(shù)學(xué)表達(dá)能力為數(shù)學(xué)活動(dòng)的主要內(nèi)容。

三、問(wèn)題解決教學(xué)原則

1 整體性和結(jié)構(gòu)化。圍繞數(shù)學(xué)課程目標(biāo)對(duì)包括教材、校本課程、參考資料、媒體及教師自身的資源等，有效地進(jìn)行課程開(kāi)發(fā)和重組，以整體的、綜合的思維方式組織課程內(nèi)容，重視知識(shí)體系的內(nèi)在聯(lián)系和多重關(guān)系，結(jié)合學(xué)生認(rèn)識(shí)水平和認(rèn)知需要進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，求得整合效應(yīng)和有效遷移。同時(shí)，充分考慮課程的層次性和結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)學(xué)生生命活動(dòng)諸方面的內(nèi)在聯(lián)系、相互協(xié)調(diào)和整體發(fā)展。

2 預(yù)設(shè)性與生成性。預(yù)設(shè)性對(duì)課程實(shí)施起著定向、導(dǎo)航作用，避免偏離目標(biāo)的無(wú)效學(xué)習(xí)活動(dòng)。但如果預(yù)設(shè)性太強(qiáng)，會(huì)導(dǎo)致反應(yīng)定勢(shì)，出現(xiàn)教師“牽著”學(xué)生走的現(xiàn)象。課程的生成性要求為學(xué)生提供可選擇的內(nèi)容以及多層次、多類(lèi)型的活動(dòng)，滿足學(xué)生對(duì)不同學(xué)習(xí)內(nèi)容和不同學(xué)習(xí)過(guò)程的需要，展示個(gè)體思維特點(diǎn)及創(chuàng)造力。

3 探究性和有效性。問(wèn)題解決教學(xué)以“問(wèn)題”為起點(diǎn)，以“探究”為過(guò)程。探究是指教師不把構(gòu)成教學(xué)目標(biāo)的有關(guān)概念和認(rèn)知策略直接告訴學(xué)生，而是創(chuàng)造一種適宜的認(rèn)知合作環(huán)境，讓學(xué)生通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)有利于開(kāi)展這種探索的學(xué)科內(nèi)容要素和認(rèn)知策略。將學(xué)生置于復(fù)雜的問(wèn)題情景下，喚起學(xué)生對(duì)問(wèn)題及其背景抽象過(guò)程的神秘感，調(diào)動(dòng)問(wèn)題解決的需求和欲望，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化、進(jìn)行策略選擇、有效地表征等。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能夠有效地激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)獨(dú)立自主的意識(shí)和創(chuàng)新精神。

4 主導(dǎo)性和主體性。遵循“教師主導(dǎo)，學(xué)生主體”的教學(xué)原則。一方面教師要對(duì)課程資源進(jìn)行有效整合和教學(xué)設(shè)計(jì)，另一方面學(xué)生從問(wèn)題人手，處理信息，相互討論或自我反省獲得知識(shí)。

四、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)

1 情境的設(shè)計(jì)。創(chuàng)設(shè)情境是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)過(guò)程的重要環(huán)節(jié)，情境的設(shè)計(jì)要有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，有利于建立學(xué)生的自信心和培養(yǎng)學(xué)生的合作精神。

(1)問(wèn)題情境。教師要為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)適合自己尋找知識(shí)的意境，使學(xué)生經(jīng)常處于“憤”和“悱”的狀態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生去做力所能及的事。教學(xué)過(guò)程中，先與學(xué)生一起對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察和磋商，逐漸造成這種情況——這個(gè)問(wèn)題學(xué)生急于解決，但僅利用已有的知識(shí)和技能卻又無(wú)法解決，形成認(rèn)知沖突，這就激發(fā)了他們的求知欲。這個(gè)“問(wèn)題”可以來(lái)自數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部，也可以來(lái)自數(shù)學(xué)知識(shí)外部，尤其可以來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活。在設(shè)計(jì)時(shí)，可根據(jù)所教的知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況來(lái)擬定問(wèn)題，要比較多地關(guān)注發(fā)生在學(xué)生身邊的問(wèn)題：融生活趣味和知識(shí)趣味于一體的問(wèn)題。

問(wèn)題情境必須與學(xué)生在數(shù)學(xué)上和文化上的成熟程度和經(jīng)驗(yàn)相適應(yīng)。在設(shè)計(jì)時(shí)，要讓學(xué)生去體驗(yàn)真正的問(wèn)題，真正的問(wèn)題是一種情境，它比較復(fù)雜，是具有一定的挑戰(zhàn)性的尚未解決的問(wèn)題；同時(shí)，還要注意層次性，使對(duì)簡(jiǎn)單情境下的探究推廣到另一個(gè)情境，或可用多種水平加以處理。問(wèn)題情境還可以用口頭、文字、事物、圖畫(huà)、圖象形式以及多媒體進(jìn)行模擬。

(2)情緒情境。創(chuàng)設(shè)情緒情境能培養(yǎng)學(xué)生的意志和自信心。當(dāng)學(xué)生不能解決所提出問(wèn)題時(shí)，可先設(shè)計(jì)一些作鋪墊的問(wèn)題，并在他們?nèi)〉贸醪匠晒r(shí)及時(shí)給以鼓勵(lì)。這時(shí)體驗(yàn)到的喜悅，可以激勵(lì)學(xué)生為取得即將到來(lái)的勝利喜悅而克服新的困難。當(dāng)一些學(xué)生不想解題，甚至不愿意理解這個(gè)問(wèn)題時(shí)，教師要設(shè)法激起學(xué)生的好奇心，給他某種解題愿望，同時(shí)應(yīng)當(dāng)給學(xué)生一些時(shí)間，使他下決心來(lái)解決問(wèn)題；當(dāng)學(xué)生求解那些對(duì)他來(lái)講并不太容易的問(wèn)題時(shí)，要讓他學(xué)會(huì)敗而不餒，學(xué)會(huì)看到哪怕是微小的進(jìn)展，學(xué)會(huì)開(kāi)拓思路并積極進(jìn)取。

2 問(wèn)題設(shè)計(jì)。問(wèn)題的設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，必須設(shè)計(jì)一些“好問(wèn)題”，所謂“好問(wèn)題”應(yīng)該具有下面這些特點(diǎn)之一：

(1)一個(gè)“好”的數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)具有較強(qiáng)的探索性，它要求人們具有某種程度的獨(dú)立見(jiàn)解、判斷力、能動(dòng)性和創(chuàng)造性。正如波利亞所指出的：“我們這里所指的問(wèn)題，不僅是尋常的，他們還要求人們具有某種程度的獨(dú)立見(jiàn)解、判斷力、能動(dòng)性和創(chuàng)造精神?！边@里所指的“探索性”的要求是和學(xué)生的實(shí)際水平相適應(yīng)的。

(2)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義與學(xué)生的實(shí)際生活有著直接的聯(lián)系，有趣味和魅力，從而使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值和數(shù)學(xué)美，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種有意義的活動(dòng)，而這對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性是十分重要的。

(3)具有多種的解法或多種可能的解答，即開(kāi)放性。一個(gè)好問(wèn)題常?？梢杂迷S多種不同的方法來(lái)解決，問(wèn)題解決的過(guò)程可以在代數(shù)、幾何甚至是三角函數(shù)中求到解答，這樣的問(wèn)題可以使學(xué)生明白通常有許多途徑去解剖一只“數(shù)學(xué)麻雀”，使學(xué)生明白解題不僅僅是簡(jiǎn)單地得到一個(gè)答案，而是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)和思想。對(duì)于問(wèn)題解決過(guò)程來(lái)說(shuō)，用三種方法解答—個(gè)問(wèn)題，比解答三個(gè)問(wèn)題而每個(gè)問(wèn)題用一種方法更有價(jià)值。

(4)具有一定的發(fā)展余地，可以推廣或擴(kuò)充到各種情形。也就是說(shuō)，希望給學(xué)生的問(wèn)題能夠引出新的問(wèn)題和進(jìn)一步的思考，成為豐富的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)的起點(diǎn)，給學(xué)生提供“做數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)。

(5)具有一定的啟示意義，蘊(yùn)含重要數(shù)學(xué)思想方法。也就是說(shuō)，不僅問(wèn)題本身是有價(jià)值的，而且解決問(wèn)題所涉及的思維模式也同樣有價(jià)值。它有利于學(xué)生獲得有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，也能為問(wèn)題解決策略的具體運(yùn)用提供良好的素材。這不應(yīng)該是所謂的“偏題”、“怪題”，目的是希望這些問(wèn)題能夠把學(xué)生引向真正的、誠(chéng)實(shí)的、有價(jià)值的數(shù)學(xué)。

3 學(xué)生活動(dòng)的設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的自主學(xué)習(xí)活動(dòng)。在整堂課中，什么時(shí)候讓學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立操作、什么時(shí)候讓學(xué)生討論、交流信息，怎樣組織討論和交流等，教師在設(shè)計(jì)時(shí)都要作精心的安排。

(1)活動(dòng)的順序。學(xué)生活動(dòng)通?？梢赃@樣安排：①理解問(wèn)題，可由學(xué)生自己讀題和理解，也可以師生一起觀察和磋商；②尋找問(wèn)題與已有知識(shí)的聯(lián)系；③討論和個(gè)體探究，可先個(gè)體探究后討論，也可先討論后個(gè)體探究，也可以個(gè)體探究和討論一起進(jìn)行；④交流結(jié)果和心得。

(2)教學(xué)形式的選擇。問(wèn)題解決教學(xué)主要通過(guò)個(gè)體探究和群體交流兩種活動(dòng)來(lái)進(jìn)行，與此相適應(yīng)的教學(xué)組織形式有全班、個(gè)人和小組三種。

(責(zé)任編輯 陳國(guó)慶)