巧作輔助圓妙解幾何題

〔關鍵詞〕 輔助圓；隱含條件；角平分線；代數式

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 Ｃ

〔文章編號〕 1004—0463（2008）07（Ａ）—0058—０１

近幾年來，數學課程的內容、思路和理念都發生了一定的變化，所以數學課堂教學內容必然要適應這些變化，以應對符合這些變化的中考.

下面，筆者就中考中的一些幾何題來說明其解題思路的變化.這類幾何題，所給條件和欲求的結論從表面上來看和圓沒有多大關系，但是，放寬視野，不難發現，引入輔助圓后常常能達到化繁為簡、化難為易的目的.

求線段長

例1：如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=a，BC=b，求BD的長.

分析：若局限于所給圖形去思考，較難解決，但題設中有AB=AC=AD這一條件，則可以考慮以A為圓心，AB為半徑作圓，這時解題思路馬上豁然開朗.

解：以A為圓心，AB為半徑作圓，延長BA交⊙A于E，連接DE.

例2：如圖2，△ABC中，∠B=2∠C，求證：AC<2AB.

分析：欲證AC<2AB，若直接證，無從下手，但考慮到∠B=2∠C，根據圓中有“等弧對等弦”這一結論，不妨引入輔助圓，構造出∠B的平分線及相應弧所對應的弦來證明.

證明：作△ABC的外接圓，并作∠B的平分線交外接圓于D，連接AD、CD.

例3：如圖3，點D為等邊△ABC外一點，且與點A均在BC同側，AD=BC.求∠BDC的度數.

分析：題目中△ABC為等邊三角形，又由2AB=AD，可考慮利用圓的知識來解決.

解：以A為圓心，AB為半徑作⊙A.

∵ AD=BC，BC=AC=AB，

∴ AD=AC=AB.

∵點D、C在⊙A上，

例4：如圖4，AB=AC=AD，∠BAC=k∠CAD，則∠BDC是∠DBC的（）倍.

A. kB. 2kC. 3k

分析：此類題一般用三角形內角和定理和等腰三角形的性質列方程來求解，但注意到已知條件AB=AC=AD，可聯系到B、C、D均在以A為圓心，以AB為半徑的圓上，利用圓的有關性質來求解，比一般方法來解要簡便得多.

解：以A為圓心，以AB為半徑作圓.

∵∠BAC=k∠CAD，∴∠BDC=k∠DBC.

求代數式的值

例5：如圖5，在△ABC中，AB=AC=2.BC邊上有100個不同的點P1，P2，……P100，記作mi=APi2+BPi·CPi（i=1，2，……100）.求m1+m2+…m100的值.

分析：由題設AB=AC，可知B、C在以點A為圓心，以AB為半徑的圓上，作出⊙A后，在弦BC上任取一點PK，使直線APK分別交⊙A于E、F，由相交弦定理得：BPK·PKC=FPK·PKE=（2+APK）（2-APK）=4-APK2，

∴ APK2+BPK·PKC=4，又因PK為BC上的任一點，故mi=APi2+BPi·CPi=4（i=1，2，……100），

∴ m1+m2+……m100=4×100=400.

總結：通過對以上五大類幾何題的詳細分析解答，不難發現，無論是在“有關線段的求解證明”、“角度的求解證明”還是“求代數式的值”中，一些看似復雜又無從下手的問題，通過結合題設條件，大膽、巧妙地引入輔助圓后，可以使解題思路豁然開朗.

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