例談一次函數圖象的應用

〔關鍵詞〕 一次函數圖象；行程

問題；關系式

〔中圖分類號〕 G633.62

〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463

（2008）09（Ａ）—0061—０1

函數不僅是初中數學的教學重點，而且也是中考的知識重點.函數的應用體現了新教材的思想，通過分析圖形以解決實際問題，涉及多方面的知識，需要學生有較好的理解能力.一次函數與二元一次方程有著密切的關系，如果學生在理解概念、性質的基礎上，分析圖形中一些量所表示的意義，以文字對照圖形，解決問題就簡單多了.因此，教師應該要求學生養成畫圖解題的習慣，一是為了直觀理解題目，二是為了方便分析解答，三是為了使解題過程清楚完整.下面就舉例說明.

例1現有一長為90米的游泳池，甲乙兩人分別從同岸開始向對岸往返游泳，已知甲的速度為1米/秒，乙的速度為2米/秒，兩人往返游了12分鐘，問兩人共相遇了多少次？

分析：此題是一個行程問題的應用題，如果我們用一次函數的圖象知識解決這個問題既形象又簡捷，加深了學生對一次函數圖象的理解.

解：寫出兩人距離y與時間x的函數關系式

y甲=x，y乙=2x.兩人往返時間為12×60=720秒.

同一直角坐標系內兩人路程與時間的圖象如圖1所示.從圖象可以看出，甲乙兩個圖象相交于A、B兩點，這兩點表示它們的相遇次數，也就是甲乙兩人在120秒內相遇了2次，那么720秒共相遇次數為2×720÷120=12次.

例2一次時裝表演會預算中票價定位每張100元，容納觀眾人數不超過2000人，毛利潤y（百元）關于觀眾人數x（百人）之間的函數圖象如圖2所示.當觀眾人數超過1000人時，表演會組織者需向保險公司交納定額平安保險費5000元（不列入成本費用）.請解答下列問題：

（1）求當觀眾人數不超過1000人時，毛利潤y（百元）關于觀眾人數x（百人）的函數解析式和成本費用s（百元）關于觀眾人數x（百人）的函數解析式；

（2）若要使這次表演會獲得36000元的毛利潤，那么要售出多少張門票？需支付成本費用多少元？（注：當觀眾人數不超過1000人時，表演會的毛利潤=門票收入-成本費用；當觀眾人數超過1000人時，表演會的毛利潤=門票收入-成本費用-平安保險費）

解：（1）由圖象可知：當0≤x≤10時，設y關于x的函數解析為y=kx-100.

∵（10，400）在y=kx-100上，∴400=10k-100，解得k=50.

∴y=50x-100，s=100x-（50x-100），∴s=50x+100.

（2）當10＜x≤20時，設y關于x的函數解析式為y=mx+b.

∵（10，350），（20，850）在y=mx+b上，

∴１０m+b=350，20m+b=850.解得m=50，b=-150.

∴y=50x-150，∴ s=100x-（50x-150）-50，∴ s=50x+100.

∴y=50x-100（0≤x≤10），50x-150（１０

令y=360，當0≤x≤10時，50x-100=360，解得x=9.2，∴ s=50x+100=50×9.2+100=560；

當10＜x≤20時，50x-150=360，解得x=10.2，

∴ s=50x+100=50×10.2+100=610.

因而，要使這次表演會獲得36000元的毛利潤，必須售出920張或1020張門票，相應支付的成本費用分別為56000元和61000元.

解析：此題先借助函數圖象確定函數關系式，然后對分段函數分情況討論，這是準確、完整解決此題的關鍵.此題中還要進行單位換算，這對解題也很重要.

由此可知，從圖象上可以看出所反映的實際問題的變化情況和發展趨勢，直觀簡潔，可以避免學生憑空想象帶來的曲意理解，便于正確理解.利用圖形解決數學問題不僅是為了方便，更為重要的是有利于培養學生數形結合的數學思想，這在數學學習中有著非常重要的作用.當然，一次函數圖象的應用還有許多方面，還有待于我們在今后的教學中進行進一步的探討.