兩個小球不同時落地
2008-12-31 00:00:00梁寶槍
物理教學探討 2008年23期
例 如圖1所示，在長為l的輕繩兩端各拴一個小鐵球A和B，一人拿著繩一端的小球站在三層樓的陽臺上，使下端的小球與陽臺上檐齊平，放手讓兩小球做自由落體運動，兩球相繼落地的時間差為Δt；如果站在四層樓的陽臺上，做同樣的實驗，那么兩小球相繼落地的時間差Δt′與Δt相比較將( )
A.不變。B.變大。
C.變小。D.無法判斷。
解法1 一般物理方法
令三層樓陽臺上檐離地高度為h，A、B一道從三層樓陽臺上自由下落，令B剛觸地時A的速度為vA，則：vA2=2gh，vA=2gh。
同理，令四層樓陽臺上檐離地高度為h′，A、B一道從四層樓陽臺上自由下落，令B剛觸地時A的速度為v′A，則有：
v′2A=2gh′，
因h′＞h，故vA′＞vA。
A從B剛觸地到A剛觸地的過程中，A做初速度為v′A加速度為g的勻加速直線運動。
從三樓下落，l=vAΔt+12g(Δt)2，
從四樓下落，l=v′AΔt′+12g(Δt′)2。
因v′A ＞vA，故Δt′＜Δt，選(C)。
解法2 v-t圖像法
如圖2所示，第一種情況下，令A、B從開始下落到相繼落地的時間分別為tA、tB，則A、B相繼落地的時間差：
Δt=tA-tB。
第二種情況下，令A、B從開始下落到A、B相繼落地的時間分別為t′A、t′B，則A、B相繼落地的時間差：
Δt′=t′A-t′B。
不妨令h′＞h+l，
作v-t圖線：
數值上△OBtB面積與h相等，梯形ABtBtA面積與l相等。△OB′t′B面積與h′相等，梯形A′B′t′Bt′A面積數與l相等。易知Δt′＜Δt，答案選C。
解法3 函數單調性
A、B兩球從高為h的三層樓陽臺上一道自由下落時，令A經時間tA落地，B經時間tB落地，落地時間差為Δt。
Δt=tA-tB，
h=12gt2B，h+l=12gt2A，
Δt=2(h+l)g-2hg。
同理：Δt′=2(h′+l)g-2h′g。
其中h′＞h＞0，
Δt′-Δt=2(h′+l)g-2h′g-2(h+l)g+2hg=(2(h′+l)g-2(h+l)g)+(2hg-2h′g)=2g(h′-h)(1h′+l+h+l-1h′+h)。
因h′＞h＞0且l＞0，
故Δt′-Δt＜0，Δt′＜Δt。故答案選C。
解法4 特殊值法
h取9.9m，h′取13.2m，l取1m，g取9.8m/s2。
Δt=2(h+l)g-2hg≈0.070s，
Δt′=2(h′+l)g-2h′g≈0.061s。
故Δt′＜Δt。故答案C。
解法5 實驗法
用l=1m長的輕繩連接A、B兩小球，一位同學分別登上三層樓和四層樓的陽臺上讓A、B球一道自由落體，另一位同學在樓下用秒表記錄兩種情況下A、B相繼落地時的時間差Δt、Δt′，比較數值獲得結論。
由解法4可知，Δt和Δt′都很小，難以測量，故本解法不適用。
解法6 Excel仿真法
由解法3可知：
Δt=2(h+l)g-2hg。
令2hg=x，Δt=y，
則本問題抽象為：
y=x+a-x。
其中x＞0，a為大于0的常數。
a取某一數值，取一系列的x，得到對應的一系列的y，描點可得x-y圖像，如圖3所示，易知x↑，y↓，也即h↑時，Δt↓。
改變a的值，可獲得一系列的x-y圖線，如圖觀察可知，隨著x↑，y↓。故Δt′＜Δt。故答案選C。
(欄目編輯羅琬華)
