談對動能定理的理解

動能定理是高中物理知識體系中的一個重要知識，不可或缺，同時也是學生學習的一個難點，學生常常出現不會運用或者理解出錯，我覺得這跟教材有一定的關系。

高中物理(人教版試驗修訂本)第一冊142頁是這樣講述動能定理的：

教材在復習初中動能的基礎上，在一個非常簡單的情形（合力為一個推力）下，根據做功的多少，來定量確定動能（動能的變化）。“……W=EK2-EK1……上式表示，外力所做的功等于動能的變化……”然后再推廣到如果物體受到幾個力的共同作用，則上式中的W表示各個力做功的代數和，即合力所做的功，最終得出結論“合力所做的功等于物體動能的變化”。

從上述描寫來看，動能定理中的合力做功應指合外力做功，那么內力做功影響不影響系統的總動能呢？是不是與牛頓定律、動量守恒定律、動量定理中類似，只考慮外力的影響，內力對系統動能的變化不作貢獻？

例 在水平光滑的地面上，靜止放著一質量為M的足夠長的長木板，長木板的左端沖上一個質量為m初速度為v0的小物體，物體和長木板之間的滑動摩擦系數為μ

若選M為研究對象，有:

12Mv2-0=μmgSMcos0°=μmgSM①

若選m為研究對象，有:

12mv2-12mv20=μmgSmcos180°=-μmgSm②



把以上兩式相加，有

12（m+M）v2-12mv20=μmgSmcos180°=μmg(SM-Sm)≠0③

若選m、M整體為研究對象，合外力為零，有:

12(m+M)v2-12mv20=0④

顯然，從能的轉化來看， m與M摩擦生熱， m、M整體的總動能一部分轉化為內能，總動能要減少， 上面的④式是錯誤的，即內力做功要改變系統的總動能。

從大學教科書力學基礎可知高中課本上所講的動能定理應該叫質點的動能定理，不適用于質點組(或系統)，質點組的動能定理是“質點組動能的增量在數值上等于一切外力所作功與一切內力所作功的代數和”。

但是介于學生已經學了牛頓定律，知道內力不影響物體的加速度，以及后面很快要學到的動量定理，也是內力不影響系統的總動量，教材這樣講述動能定理，會有相當一部分學生誤以為內力不影響系統的總動能的改變量。

2003年全國高考理科綜合最后一題(即34題)就有非常多的學生解題時漏掉了內力做功(即摩擦生熱)，而這種典型錯誤，往往是那些對動能定理理解不準確不深入的學生所犯的，如果在教學中能恰當地補充內力做功也要影響系統的動能的變化，這對減少這種典型錯誤將大有好處，或者在教材的編寫過程中，能避免這種可能對學生的誤導，那就更好了。

下面兩個例題是與動能定理密切相關的高考題，各位讀者從中可以細加體會。

例1 （2004年高考全國卷3）如圖，長木板ab的b端固定一檔板，木板連同檔板的質量為M=4.0kg，a、b間距離s=2.0m，木板位于光滑水平面上.在木板a端有一小物塊，其質量m=1.0kg，小物塊與木板間的動摩擦因數μ=0.10，它們都處于靜止狀態.現令小物塊以初速v0=4.0m/s沿木板向前滑動，直到和檔板相撞，碰撞后，小物塊恰好回到a端而不脫離木板，求碰撞過程中損失的機械能。



學生解題時典型錯誤有兩個: 1.直接把E=12mv20-12(m+M)v2當成是碰撞過程中損失的機械能，忘記內力做功(即摩擦生熱); 2.不會計算小物塊與木板間的一對滑動摩擦力所做總功，即摩擦生熱的多少。

所以知道內力做功要改變系統的總動能，以及如何計算內力做功(改變系統的總動能)很重要。

正確的解法如下:

解 設木塊和物塊最后共同的速度為v，由動量守恒定律mv0=(m+M)v①

設全過程損失的機械能為E，E=12mv20-12(m+M)v2②

用s1表示從物塊開始運動到碰撞前瞬間木板的位移，W1表示在這段時間內摩擦力對木板所做的功，用W2表示同樣時間內摩擦力對物塊所做的功，用s2表示從碰撞后瞬間到物塊回到a端時木板的位移，W3表示在這段時間內摩擦力對木板所做的功，用W4表示同樣時間內摩擦力對物塊所做的功，用W表示在全過程中摩擦力做的總功，則

W1=μmgs1③

W2=-μmg(s1+s)④

W3=-μmgs2⑤

W4=μmg(s2-s)⑥

W=W1+W2+W3+W4⑦

用E1表示在碰撞過程中損失的機械能，則E1=E－W⑧

由①-⑧式解得E1=12mMm+Mv20-2μmgs⑨

代入數據得E1=2.4J⑩

例2 （2005年高考天津卷）如圖所示，質量mA為4.0kg的木板A放在水平面C上，木板與水平面間的動摩擦因數μ為0.24，木板右端放著質量mB為1.0kg的小物塊B（視為質點），它們均處于靜止狀態，木板突然受到水平向右的12N#8226;s的瞬時沖量I作用開始運動，當小物塊滑離木板時，木板的動能EM為8.0J，小物塊的動能為0.50J，重力加速度取10m/s2，求



（1）瞬時沖量作用結束時木板的速度v0

（2）木板的長度L

在本例中，若學生對A、B整體直接用動能定理(合力所做的功等于物體動能的變化)，有

-FCASA=(12mAv2A+12mBv2B)-(12mAv20+0) ，顯然就錯了。

本例很像是要把動能定理和動量守恒結合求解，但是由于地面不光滑，A、B位移都不知道，所以僅僅用動能定理和動量守恒相結合很難求解出來.正確的解法如下:

解 (1)設水平向右為正方向，有

I=mAv0①

代入數據解得v0=3.0m/s②

(2)設A對B、B對A、C對A的滑動摩擦力的大小分別為FAB、FBA和FCA，B在A上滑行的時間為t，B離開A時A和B的速度分別為vA和vB，有

-（FBA+FCA）t=mAvA-mAv0③

FABt=mBtB④

其中FAB=FBA FCA=μ(mA+mB)g⑤

設AB相對于C的位移大小分別為SA和SB，有

-（FBA+FCA）sA=12mAv2A-12mAv20⑥

FABsB=EkB⑦

動量與動能之間的關系為

mAvA=2mAEkA⑧

mBvB=2mBEkB⑨

木板A的長度L=SA-SB⑩

代入數據解得L=0.50m○11