基于ＶａＲ模型的股票組合投資風險管理研究

[摘 要] 本文探討了將GARCH模型與方差-協(xié)方差方法相結合的VaR風險計量方法，并用VaR風險替代Markiwitz組合投資模型中的方差風險，通過求解非線性規(guī)劃問題，得到最小化股票投資組合VaR風險的最優(yōu)投資策略。

[關鍵詞] VaR 方差風險 Markowitz組合投資模型

一、引言

1993年G30研究小組在《衍生產(chǎn)品的實踐和規(guī)則》的報告中首次提出VaR模型，之后在巴塞爾銀行監(jiān)管委員會和國際證券委員會的推動下，VaR模型逐漸成為金融風險管理的主流方法。關于VaR模型在股票組合投資決策中的應用，國外學者做了大量研究。例如，Alexander，Baptista(2002)對比研究了均值-方差模型和均值-VaR模型對于股票組合投資決策的經(jīng)濟意義。Campbell，Huisman，Koedijk（2001）在VaR模型框架下研究了最優(yōu)證券組合投資問題。Consigli(2002)應用均值-VaR模型研究了不穩(wěn)定金融市場中的證券投資組合選擇問題。

關于VaR模型在金融風險計量和管理中的應用，我國學者也作了一些研究。例如，戴國強、徐龍炳、陸蓉(2000)探討了VaR模型對我國金融風險管理的借鑒意義及其應用方法。寧云才、王紅衛(wèi)(2002)探討了Markowitz投資組合有效邊界的程序化解法。

本文首先探討了基于GARCH模型的股票投資組合VaR風險計量方法，然后將VaR風險替代Markowitz投資組合模型中的方差風險，通過求解非線性數(shù)學規(guī)劃問題得到股票投資組合的另一種最優(yōu)投資策略。

二、模型與方法

1.VaR的定義

根據(jù)Jorion的定義VaR指給定置信區(qū)間下金融資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在持有期內的最壞預期損失。若用V表示資產(chǎn)組合在持有期末的價值，E(V)表示資產(chǎn)組合在持有期末的期望價值，表示給定置信區(qū)間c下資產(chǎn)組合的最低價值，則VaR值如(1)式所示。

（1）

其中，V*滿足(2)式所示的條件。

P(V|V>V*)=c 或（2）

其中，f(v)表示持有期末資產(chǎn)組合價值的概率密度函數(shù)。

計算VaR需先確定以下三個因素:資產(chǎn)組合持有期的長短、置信區(qū)間c的水平和持有期內資產(chǎn)組合價值的分布特征。VaR值計算通常有三種方法:歷史模擬法、方差-協(xié)方差法和蒙特卡洛模擬法。本文的研究采用方差-協(xié)方差法。

2.計算VaR值的方差-協(xié)方差方法

假設投資組合由n只股票組成，記為第i只股票的價值在投資組合總價值中所占的比例，并滿足(3)式所示的約束條件。

令S表示投資組合收益率的方差-協(xié)方差矩陣，表示股票投資組合的投資策略向量，則投資組合收益率的方差可由(4)式計算得到。

(4)

假定資產(chǎn)組合的收益率服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的分位數(shù)進一步計算得到投資組合的VaR值，如(5)式所示。

(5)

其中，表示投資組合的初始投資額，表示標準正態(tài)分布在置信水平c下的分位數(shù)。

由于根據(jù)歷史數(shù)據(jù)計算的收益率方差不能準確反映未來持有期內收益率的波動性，為克服這一的缺點，本文應用GARCH模型對股票未來持有期內的波動率進行預測，在波動率預測值的基礎上計算投資組合在未來持有期內的VaR值。

3.GARCH模型及其對股票收益波動率的預測方法

對金融時間序列收益波動率的研究一直是金融研究的重點問題之一，1982年Engle提出了ARCH模型，即自回歸條件異方差模型，1986年Bollerslev在此基礎上提出了GARCH模型，即廣義自回歸條件異方差模型，用以對金融時間序列收益波動率進行建模。對股票收益波動率的建模經(jīng)常采用GARCH(1，1)模型，例如宋逢明、江婕(2003)對中國股市波動率特征的實證研究，趙留彥、王一鳴(2004)在對中國股市收益率的時變方差與周內效應的研究，本文的研究采用GARCH(1，1)模型。

GARCH(1，1)模型的具體設定如公式(6）、(7)所示。

(6)

(7)

其中，rt表示股票在第t期的收益率，u表示股票收益率的均值，εt表示第t期股票收益率偏離均值的殘差，σt表示第t期股票收益的波動率。α0 、α1和β為待估參數(shù)。

GARCH(1，1)模型實際上包含了一個遞推公式。根據(jù)rt和公式(6)可計算得到εt ，將εt 和σt代入公式(7)，可對σt+1進行預測，依次類推。預測使用的第一期的收益波動率通常由歷史波動率法計算得到。

4.基于VaR的最優(yōu)股票組合投資策略

令Θ表示投資組合各成分股票收益率的相關系數(shù)矩陣，s表示由各成分股票收益率方差預測值構成的列向量，其中收益率方差的預測值由GARCH模型得到，則投資組合在預測期內收益率的方差可由(8)式計算得到。

（8）

在股票收益率服從正態(tài)分布的假定下，將代入公式(5），可計算出投資組合的VaR值。將投資組合的VaR風險值替代Markowitz組合投資模型中的方差風險值，可得下述非線性數(shù)學規(guī)劃問題。

(9)

(10)

求解上述非線性數(shù)學規(guī)劃問題，可得到最小化投資組合VaR風險值的最優(yōu)投資策略向量和最優(yōu)投資組合的VaR值。

三、實證算例

本文選取上海證券交易所上市交易分屬不同行業(yè)的6只股票構成樣本股票投資組合，這6只股票的名稱見表1。本文收集了上述股票2006年9月7日至2007年4月30日的日收盤數(shù)據(jù)，根據(jù)日收益率數(shù)據(jù)應用Eviews5.0軟件估計各成分股票GARCH模型的參數(shù)，參數(shù)估計結果見表1。

應用GARCH模型預測各成分股票在下一個交易日里的收益波動率，預測結果列示于表2。

根據(jù)樣本股票日收益率數(shù)據(jù)可計算成分股票間收益率相關系數(shù)矩陣。在給定各成分股票投資比重的條件下，應用公式(8)計算投資組合收益波動率的預測值， 再根據(jù)公式(5）計算投資組合在下一個交易日里的VaR風險值。利用Excel中的規(guī)劃求解功能求解公式(9）、（10)所示的非線性規(guī)劃問題，得到各成分股票的最優(yōu)投資比重，求解結果列示于表2。

為比較上述最優(yōu)投資策略降低投資組合VaR風險值的程度，本文同時計算了等比例投資策略下投資組合的VaR風險值，計算結果列示于表3。

表3顯示，如果投資者的初始投資為1000000元，則在下一個交易日里，在5%的置信水平下，最優(yōu)投資組合的最壞損失約為36443元，等比例投資組合的最壞損失約為39748元。在1%的置信水平下，最優(yōu)投資組合的最壞損失約為51462元，等比例投資組合的最壞損失約為56130元。在兩種置信水平下，等比例投資組合的最壞損失均大于最優(yōu)投資組合的最壞損失。

參考文獻:

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[2]Campbell R.Huisman R.Koedijk K.2001，Optimal portfolio selection in a Value-at Risk framework[J]，Journal of Banking Finance 25，1789～1804

[3]Consigli G.2002，Tail estimation and mean～VaR portfolio selection in markets subject to financial instability [J]，Journal of Banking Finance 26，1355～1382

[4]戴國強 徐龍炳 陸 蓉:2000，VaR方法對我國金融風險管理的借鑒及應用[J]，金融研究，第7期

[5]寧云才 王紅衛(wèi):2003，Markowitz組合投資模型的程序化求解方法[J]，數(shù)量經(jīng)濟技術經(jīng)濟研究，第10期

[6]Jorion P.2000，VaR:風險價值——金融風險管理新標準[M]，張海魚譯，中信出版社

[7]宋逢明 江 婕:2003，中國股票市場波動性特性的實證研究[J]，金融研究，第4期

[8]趙留彥 王一鳴:2004，中國股票收益率的時變方差與周內效應[J]，世界經(jīng)濟，第1期

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