淺析數學期望在經濟生活中的應用

[摘 要] 數學期望是隨機變量的重要數字特征之一。文章本文通過探討數學期望在決策、利潤、委托代理關系、彩票等方面的一些實例，闡述了數學期望在經濟和實際問題中的應用。

[關鍵詞] 隨機變量 數學期望 經濟應用

數學期望(mathematical expectation)簡稱期望，又稱均值，是概率論中一項重要的數字特征，在經濟管理工作中有著重要的應用。本文通過探討數學期望在經濟和實際問題中的一些簡單應用，以期起到讓學生了解知識與人類實踐緊密聯系的豐富底蘊，切身體會到“數學的確有用”。

一、決策方案問題

決策方案即將數學期望最大的方案作為最佳方案加以決策。它幫助人們在復雜的情況下從可能采取的方案中做出選擇和決定。具體做法為：如果知道任一方案Ai(i=1，2，…m)在每個影響因素Sj(j=1，2，…，n)發生的情況下，實施某種方案所產生的盈利值及各影響因素發生的概率，則可以比較各個方案的期望盈利，從而選擇其中期望盈利最高的為最佳方案。

1.風險方案

假設某公司預計市場的需求將會增長。目前公司的員工都在滿負荷地工作著，為滿足市場需求，公司考慮是否讓員工超時工作或以添置設備的辦法提高產量。假設公司預測市場需求量增加的概率為p，同時還有1-p的可能市場需求會下降。若將已知的相關數據列于下表:

由條件可知，在市場需求增加的情況下，使員工超時工作或添加設備都是合算的。然而現實是不知道哪種情況會出現，因此要比較幾種方案獲利的期望大小。用期望值判斷，有:

E(A1)=30(1-p)+34p，E(A2)=29(1-p)+42p，E(A3)=25(1-p)+44p。

事實上，若p=0.8，則E(A1)=33.2（萬），E(A2)=39.4（萬），E(A3)=40.2(萬），于是公司可以決定更新設備，擴大生產。若p=0.5，則E(A1)=32(萬），E(A2)=35.5(萬），E(A3)=34.5(萬），此時公司可決定采取員工超時工作的應急措施。由此可見，只要市場需求增長可能性在50%以上，公司就應采取一定的措施，以期利潤的增長。

2.投資方案

假設某人用10萬元進行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購買股票;二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經濟形勢，若經濟形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利1萬元，形勢不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設利率為8%，可得利息8000元，又設經濟形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%。試問應選擇哪一種方案可使投資的效益較大？

比較兩種投資方案獲利的期望大?。?/p>

購買股票的獲利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(萬元），存入銀行的獲利期望是E(A2)=0.8（萬元），由于E(A1)>E(A2)，所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應采用購買股票的方案。在這里，投資方案有兩種，但經濟形勢是一個不確定因素，做出選擇的根據必須是數學期望高的方案。

3.面試方案

設想某人在求職過程中得到了兩個公司的面試通知，假定每個公司有三種不同的職位:極好的，工資4萬;好的，工資3萬;一般的，工資2.5萬。估計能得到這些職位的概率為0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何職位。由于每家公司都要求在面試時表態接受或拒絕所提供職位，那么，應遵循什么策略應答呢？

極端的情況是很好處理的，如提供極好的職位或沒工作，當然不用做決定了。對于其他情況，我們的方案是，采取期望受益最大的原則。

先考慮現在進行的是最后一次面試，工資的期望值為:E1=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7萬。

那么在進行第一次面試時，我們可以認為，如果接受一般的值位，期望工資為2.5萬，但若放棄(可到下一家公司碰運氣），期望工資為2.7萬，因此可選擇只接受極好的和好的職位。這一策略下工資總的期望值為4×0.2+3×0.3+2.7×0.5=3.05萬。

如果此人接到了三份這樣的面試通知，又應如何決策呢?

最后一次面試，工資的期望值仍為2.7萬。第二次面試的期望值可由下列數據求知:極好的職位，工資4萬;好的，工資3萬；一般的，工資2.5萬;沒工作(接受第三次面試），2.7萬。期望值為:E2=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05萬。

這樣，對于三次面試應采取的行動是：第一次只接受極好的職位，否則進行第二次面試；第二次面試可接受極好的和好的職位，否則進行第三次面試；第三次面試則接受任何可能提供的職位。這一策略下工資總的期望值為4×0.2+3.05×0.8=3.24萬。故此在求職時收到多份面試通知時，應用期望受益最大的原則不僅提高就業機會，同時可提高工資的期望值。

二、生產和銷售利潤問題

在經濟活動中，不論是廠家的生產還是商家的銷售，總是追求利潤的最大化，供大于求或供不應求都不利于獲得最大利潤。但供應量和需求量又不是預先知道的。理性的廠家或商家往往根據過去的數據(概率），用數學期望結合微積分的有關知識，制定最佳的生產或銷售策略。

假定某公司計劃開發一種新產品市場，并試圖確定其產量。估計出售一件產品，公司可獲利m元，而積壓一件產品，可導致損失n元，另外，該公司預測產品的銷售量X為一個隨機變量，其分布為p(χ)，那么，產品的產量該如何制定，才能獲得最大利潤。

假設該公司每年生產該產品χ件，盡管χ是確定的，但由于需求量(銷售量)是一個隨機變量，所以收益Ｙ是一個隨機變量，它是Ｘ的函數：

于是期望收益為，問題轉化為，當χ為何值時，期望收益可以達到最大值。運用微積分的知識，不難求得。

這個問題的解決，就是求目標函數期望的最大最小值。

三、委托—代理問題

在經濟生活中，委托—代理是非常普遍的，例如老板和員工、股東和經理等等。老板希望在給員工支付工資的同時確保員工能恪盡職守地工作，而員工則希望在拿到薪酬的同時盡量少工作。那么，應采取怎樣的策略來確保兩方面的平衡呢?我們可以用雙方利潤的數學期望來分析這一問題。

首先，如果不考慮外界因素的影響，老板的利潤會隨著員工的努力程度而增加；另一方面，如果員工的努力程度不變，老板的利潤也會受到外界因素的影響，簡單綜合為運氣好和運氣差。假設這兩方面的影響可概括如下：

由上表數據知，當利潤為最小(10萬)和最大(40萬)時，老板可確定員工是否努力工作，在其他情況下無法確定，因此，員工可能會偷懶。另一方面，員工工作只是為了工資收入，努力工作會增加他的勞動成本，簡單起見，記其努力工作的勞動成本為10萬元，而不努力工作的勞動成本為0萬元。因此，對于老板來說，最有利的結果當然是員工努力工作，這是因為老板的期望利潤為:當員工努力工作時E1=20×0.5+40×0.5=30萬;當員工不努力工作時E2=10×0.5+20×0.5=15萬。那么，如何能保證員工能夠努力工作呢？我們可以考慮不同的報酬形式:固定工資12萬元;對員工的努力作出獎勵。假設老板可制定報酬計劃如下:若利潤不超過20萬，工資為0，若利潤達到40萬，工資為24萬;分享利潤。假設老板可制定報酬計劃如下:當利潤少于18萬時，工資為0，當利潤高于18萬時，超過部分作為工資獎勵給員工。

在這三種報酬形勢下，我們分別考慮老板和員工雙方的利益;

第一種情況:員工無論努力與否，工資均為12萬，但若努力工作，會增加勞動成本10萬元，因此員工一定選擇不努力工作。對于老板而言，這種情況下得到的凈利潤只能為(10×0.5+20×0.5)-12=3萬，而員工努力工作時凈老板可獲得的利潤高達(20×0.5+40×0.5)-12=18萬。因此，固定工資必然會導致效率低下，同時，期望利潤也很低。

第二種情況:對員工而言，當努力工作時，期望工資收入為 萬，減去勞動成本10萬，凈收入為2萬。而如果不努力工作，工資只能為0。所以員工一定會選擇努力工作。在這種情況下，老板的期望利潤為(20-0)×0.5+(40-24)×0.5=18萬，較之第一種情況大為增加。

第三種情況:對員工而言，當努力工作時，期望工資收入為(20-18)×0.5=1萬，減去勞動成本10萬，凈收入為2萬。

而如果不努力工作，期望工資收入為0×0.5+(20-18)×0.5=1萬，沒有勞動成本，凈收入為1萬。所以員工也會選擇努力工作。在這種情況下，老板的期望利潤總可以確保為18萬，較之第一種情況也是非常有利的。

由此可知，在這種委托—代理關系中，引進一定的激勵機制，委托人把自己的利益有效地融入代理人的利益之中，有利于解決雙方的矛盾。

四、彩票問題

設每張福利彩票售價5元，各有一個兌獎號。每售出100萬張設一個開獎組，用搖獎器當眾搖出一個6位數的中獎號碼（可以認為從000000到999999的每個數等可能出現），兌獎規則如下： 如果兌獎號與中獎號的最后一位相同者獲六等獎，獎金10元（中獎概率為0.1）；兌獎號與中獎號的最后二位相同者獲五等獎，獎金50元（中獎概率為0.01）；兌獎號與中獎號的最后三位相同者獲四等獎，獎金500元(中獎概率為0.001);兌獎號與中獎號的最后四位相同者獲三等獎，獎金5000元（中獎概率為0.0001）；兌獎號與中獎號的最后五位相同者獲二等獎，獎金50000元(中獎概率為0.00001）;兌獎號與中獎號全部相同者獲一等獎，獎金500000元（中獎概率為0.000001）。另外規定，只領取其中最高額的獎金，試求每張彩票的平均所得。

所以彩民的每張彩票的期望所得為:

那么，一個開獎組（100萬張）可將所籌得的500萬元中的350萬元以獎金形式返還給彩民，其余150萬元則可用于福利事業及管理費用。因此，彩票中獎與否雖然是隨機的，但一種彩票的期望所得是可以預先算出的，計算期望所得也是設計一種彩票的基礎。

數學期望以及概率論中其他概念在經濟生活中類似的應用問題還有很多很多，本文從中選取幾點，起到拋磚引玉的作用。愿我們的廣大學生和經濟工作者，學好用好數學，讓數學知識變得更加有用，更好的為祖國的經濟建設服務。

參考文獻:

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