圖形計算器在中學數學教學中的幾個應用

1． 問題的提出

現代信息技術的廣泛應用正在對數學課程內容、數學教學、數學學習等方面產生深刻的影響，《高中數學課程標準》中的課程理念就特別強調“注重信息技術與數學課程的整合”。所謂信息技術與數學課程的整合，就是通過數學課把信息技術和數學教學有機地結合起來，將信息技術與數學課程的教與學融為一體，將技術作為一種工具，提高教與學的效率，改善教與學的效果。

圖形計算器是一種現代手持技術，它具有數據處理功能、函數功能、圖形功能、簡單編程功能和進行一些數理實驗功能，是教學、學習和做數學的強有力工具。它為數學思想提供了可視化的圖像，使組織和分析數據容易實現，更重要的是CASIO圖形計算器具有便攜性和靈活性，這為數學教學提供了便利。本文就是從圖形計算器的教育價值入手，從幾個教學案例出發，研究圖形計算器在中學課堂教學中的幾個應用，旨在拋磚引玉。

2.圖形計算器在中學數學教學中的應用

2．1創設合理情境，優化“過程教育”。

隨著新課程理念的深入，數學教學更重視“過程教育”?！斑^程教育”更注重讓學生去經歷知識產生的過程，從而培養學生在過程中學會探究、抽象、推理與反思。

教師應該在教學過程中，引導學生學習數學，讓學生通過個人的親身體驗去經歷，去獲取信息。但是在傳統的數學情境教學中，無法模擬很多真實的情境，也無法讓學生在情境中真正去操作去體驗。而圖形計算器卻能提供直觀的圖象，能讓學生動手操作，讓學生去體驗數學家發現問題的過程。真正為學生提供“做數學”的平臺，讓數學“返璞歸真”。以不等式為例，每一個好的不等式都有重要的數學背景，特別是有重要的幾何背景。如果在進行不等式教學時，教師能恰如其分地引入一些不等式的幾何背景，讓學生在直觀的觀察過程中，更好地把握這類不等式，這遠比只要求學生通過計算解不等式更有意義。同時，教師也能通過該“過程教育”，培養學生邏輯思維能力，也讓學生感悟到原來很多數學原理也可以通過直觀的方法得到證明。

【例1】不等式的證明：任意兩個正實數x、y有 ≥ 。

思考與分析：用代數方法證明該題，只要通過兩邊平方，在利用平方和公式就可以得到證明。但是若采用直觀的幾何方法來證明，更具有數學價值。如圖1，弦DE把與它垂直的直徑AB分割為長x、y的兩部分，則半徑 不小于半弦AB= ，當且僅當半徑等于半弦，即分割點在圓心時，等號成立，此時，x=y。

2．2借助數學實驗，培養數理統計能力。

G·波利亞曾指出：“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面講，數學像是一門系統的演繹科學，但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像是一門試驗性的歸納科學?！保郏保菡跀祵W的兩面性，因此數學教學不只是邏輯推理，也需要進行“數學實驗”。數學實驗區別于其他的實驗，它要求實驗者運用一定的物質手段，在數學思維活動的參與下，在特定的實驗環境下進行探索、研究活動［２］。而以圖形計算器為媒介的數學教學正可以為學生提供一個合適的實驗環境，它是以數學建模思想為前提，借助圖形計算器的一系列功能，讓學生親歷問題情境。在實驗過程中，教師可以引導學生運用多種方法，從多種視角來探究數學問題，理解數學思想，開拓數學思維能力，讓學生不僅能夠體驗數學再創造的思維過程，更能培養學生的創新意識和科學精神。

2．3構建探究平臺，開拓解題思路。

問題是數學的心臟。美國數學家哈爾莫斯說過：“數學的真正組成部分是問題和解?！倍跀祵W教學中，解題是最基本的活動形式，不論是學生數學概念的形成、數學思想方法和技能技巧的獲得，還是數學問題解決能力與數學品質的養成，都必須通過解題教學來最終實現。而以圖形計算器為媒介的數學教學過程中，教師可以充分引導學生借助該工具，從多個角度來尋求問題的答案。在求解的過程中，學生可能會發現很多問題的答案并不唯一，或沒有一個精確值，甚至很多答案是錯誤的，但這個過程也正是科學家試誤的過程，教師要引導學生去珍惜這些負面經驗，并學會反思，學會判斷，學會取舍，進而培養學生堅毅的數學品質。

借助于圖形計算器，可以將多種數學思想方法運用到實際的教學過程中去，將“知識形態”的數學轉化為“教育形態”的數學［５］，引導學生一題多解。例如，中學生在學習函數知識時覺得很抽象，如二次函數、反比例函數、冪函數、指數函數、三角函數等。可以利用圖形計算器的“數形結合”的功能，開發一些易于學生再發現、再創造的案例。如通過平移來理解y=a(x+b) +c與y=ax 的關系，利用圖象的對稱來理解函數的奇偶性等等。

【例2】要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水。假設每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個數最少是（）。（2007年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學（理工類））

Ａ．3 Ｂ．4Ｃ．5 Ｄ．6

思考與分析：該題是一道關于覆蓋的問題，設計較新穎、獨特。很多學生看了這樣的題，會感覺無從下手，不知道從哪個角度切入。其實該題考的便是如何找到覆蓋一個正方形最小的圓。因此，該題便是要求如何在指定正方形的區域內畫圓，使得最少的圓能覆蓋整個正方形。事實上，借助圖形計算器，反復嘗試探究，可以發現答案為4。借助圖形計算器“數形結合”的功能，能直觀地解決這類覆蓋問題，從而培養學生的空間思維能力。

3.幾個結論

3.1 中學數學教學中使用圖形計算器符合現代教育觀念。

現代教育觀認為，教學的目的不僅是要讓學生掌握知識，了解世界，更重要的是讓學生學會分析問題、解決問題。建構主義教學強調要努力創造一個適宜的學習環境，使學生能夠積極主動地構建他們自己的知識。［6］圖形計算器等現代信息技術就為數學教學提供了一個很好的學習環境，極大拓展了師生的實踐活動空間，使學生有機會在一種真實的、體現數學發明與證明過程的環境中接受挑戰性的學習任務，進行實驗、探究和發現。因此，為了使學生得到更好的發展，就應把計算機、計算器等現代信息技術與數學軟件、其它學科內容整合在一起，讓學生在教師的指導下，運用現代信息技術，相對獨立地進行再發現和再創造，加深對所學知識點的理解。而且由于圖形計算器的便利性，非常適合在課堂中進行開放式教學，既能使課堂充滿生機，又能發揮學生的學習積極性。

3.2 適時和科學地運用圖形計算器。

在運用圖形計算器輔助數學教學時，特別值得注意的是，要把握好以紙筆運算、推理、作圖等為主要手段的數學學習與在信息技術支持下的數學學習之間的平衡。不能用圖形計算器代替傳統的和正常的數學教育活動，同其它多媒體一樣，如果我們過多地依賴它，不管上什么內容都運用圖形計算器，很可能會造成負面影響。如對于函數的教學，我們在講授指數函數、對數函數、冪函數的圖象及其性質時，可以先讓學生自己利用圖形計算器進行探究，但學到后來也不能一味地利用圖形計算器代替手動畫圖，這樣會削弱學生對函數圖象的理解與掌握［7］，不利于學生思維的發展。圖形計算器只能是輔助我們的數學教學，只能是為我們的教學服務。因此，在教學中，我們應落實“雙基”的同時，充分發揮信息技術的優勢，給學生開拓觀察、思考、歸納、猜想的空間，使學生理解數學的本質，從而提高學生的數學能力和創造性思維。

3.3 更新教育觀念，改革現行學生評價方式。

圖形計算器在教學過程中不僅是計算的工具，更重要的是作為數學實驗的工具。學生掌握數學知識，關鍵在于要能將知識內化到自身的認知結構中去，能遷移、轉換和運用知識。而并不是教師講得越多，學生就學得越多。教師單一的講授只能幫助學會去理解，去記憶知識，這只能將知識“窄化”、“限定”，不利于學生去“轉換”知識經驗的訓練，不利于培養學生解決變化的新情境問題的能力。［８］因此，教師要改變教育觀念。創新教育的關鍵并不在于是否使用現代教育技術，而是數學教師的教育觀念、數學觀念以及對現代教育技術的認識。［９］要培養創新性人才，教師應為“遷移而教”，讓學生自己動手實踐去體驗和感受知識的形成過程，合理運用現代教育技術，為學生創造學習環境，讓學生自己探究，去創新。而圖形計算器在課堂教學中為教與學提供了很好的技術支持，數學教師應當充分利用這一技術整合教學，以提高教學質量。

現行評價學生往往以筆試成績為唯一標準，由于這一指揮棒的作用，許多數學教師就覺得沒有必要引進現代教育技術，運用單一的講授模式，學生成績考得也不錯。這一觀念很不利于促進現代信息技術的應用和教學改革的深化。由于現代信息技術提供了多樣化的呈現手段，我們可以改進題型，如試卷中可以安排開放的探究性試題，必要時也可以讓圖形計算器進入考場，使學生從繁瑣的計算中解放出來，考查學生的實際運用能力和創新能力，從而促進現代教育技術的推廣和應用。

4.結束語

圖形計算器進入數學課堂，改變了傳統的教與學的模式，引發了新一輪的以信息技術為主導的創新教育。但在中學數學教學中，創新教育的關鍵并不是是否使用信息技術，而是數學教師的教育觀念、教學觀念以及對現代信息技術的認識。數學教師要充分認識到圖形計算器在數學教學中的作用，充分發揮圖形計算器在教學中的優勢，重在啟發學生如何利用手上的工具來探究數學問題，最終將“教會”轉變為“學會”。我們相信，隨著現代教育技術的不斷推進，圖形計算器將會給我們的數學教學帶來一片嶄新的天地。數學教師更應該正視自身的主導地位，合理充分挖掘圖形計算器的教學潛力，真正激發學生的學習興趣，培養學生的數學思維能力，優化教學過程，提高教學效率，真正推進信息技術與數學課程有效整合。

參考文獻：

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［9］葉立軍.關于圖形計算器與高等數學教學改革的若干思考［J］.寧波教育學院學報，2003.6.

基金項目：浙江省教育規劃課題（SW24）、杭州市131優秀人才基金項目