關(guān)于抽象函數(shù)的一點思考

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，抽象函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點。由于抽象函數(shù)的解析式隱含不露，使得解此類問題時往往很棘手。其實這類問題一般都以基本初等函數(shù)作為模型，通過類比、觀察、猜想出它是由哪一種基本函數(shù)抽象而來的，再根據(jù)這種模型的函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來預(yù)測，猜想出抽象函數(shù)可能具備的性質(zhì)及結(jié)論，變抽象為具體變陌生為熟知。常用的解法有賦值法、定義法、圖象法。

一、以冪函數(shù)f(x)=x 為模型的抽象函數(shù)f(xy)=f(x)f(y)

例1：已知函數(shù)f(x)對于任意正數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)f(y)…且f(x)≠0。當x＞1時，f(x)＜1 。（1）判斷f(x)的奇偶性；（2）判斷f(x)在（0，+∞）上的單調(diào)性并說明理由。

分析：（1）賦值法，令y=-1。

（2）利用f(x )=f ·x =f f(x )。

二、以正比例函數(shù)為模型的抽象函數(shù)

例2：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意的x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x＞0時，f(x)＜0，f(1)=-2。問當-3≤x≤3時，函數(shù)f(x)是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由。

分析：正比例函數(shù)f(x)=kx(k≠0)滿足f(x±y)=f(x)±f(y)。據(jù)題設(shè)，推知f（x）是正比例函數(shù)，用賦值法令x=y=0求函數(shù)f(x)的奇偶性、單調(diào)性解。

三、一次函數(shù)為模型的抽象函數(shù)

例3：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)+1=f(x)+f(y)，f( )=0，且x＞ 時，f(x)＜0。

（1）設(shè)a =f(n)(n∈N )，求數(shù)列的前n項和x ；

（2）判斷f(x)的單調(diào)性，并證明。

分析：對于一次函數(shù)f(x)=kx+b(k≠0)有f(x)+f(y)=f(x+y)+b成立。分析本題條件可知該題是以函數(shù)f(x)=-2x+1為模型命題的。

四、以對數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)

例4：已知函數(shù)f(x)的定義域是（0，+∞），當x＞1時，f(x)＞0，且f(xy)=f(x)+f(y)。

（Ⅰ）求f(1)；

（Ⅱ）判定f(x)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅲ）如果f( )=-1，求滿足不等式f(x)-f( )≥2的x的范圍。

總結(jié)：由f(xy)=f(x)+f(y)可知此函數(shù)的背景函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，又由條件當x＞1時，f(x)＞0，可知此函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)且f(x)=0，可用函數(shù)的單調(diào)性解不等式。

分析：雖然抽象函數(shù)問題有一定的難度，但只要在平時的學(xué)習(xí)中注意認真歸納總結(jié)，牢固掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，積極進行聯(lián)想對比，就不難獲得解決問題的思路，并且能夠在提高學(xué)生的解題能力、培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新意識方面收到良好的效果。

參考文獻：

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［2］張傳鵬.解抽象函數(shù)問題的常用策略［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2007，（7）.

［3］邢菊義.抽象函數(shù)問題背景函數(shù)引導(dǎo)法［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008，（1）.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>