適應(yīng)新形勢 巧解填空題

2008年高考是江蘇省進入課改后的第一年高考，數(shù)學(xué)除考試內(nèi)容有較大改變外，考試形式也發(fā)生很大變化。從過去的十道選擇題、六道填空題改變?yōu)槭牡捞羁疹}。改革的意圖不外期望更加精確地反映學(xué)生的數(shù)學(xué)水準，為高校招生提供更加可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)。由于選擇題的選項能給學(xué)生一定的提示，可采用一些特殊方法很快得到答案，這屆學(xué)生經(jīng)過長期訓(xùn)練已然形成一定的思維定勢，面對大題量的填空難以在短時間內(nèi)得其要領(lǐng)，有可能造成大面積失分。因此，解題方法和技巧的訓(xùn)練就尤為迫切。下面筆者以近年幾道典型高考題為例，談?wù)勌羁疹}的解法。

一、 注重基礎(chǔ)知識的深刻理解和應(yīng)用，熟練掌握基本結(jié)論及常規(guī)解題方法和技巧。

考綱中規(guī)定的了解(A級)、理解（B級）要求的知識點是填空題的知識母體，在解填空題時要注意聯(lián)系教材知識及常規(guī)方法迅速切入解決問題，常稱為直接求解法。它是解填空題的常用的基本方法。使用直接法解填空題，要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，自覺地、有意識地采取靈活、簡捷的解法。

例1：07高考（陜西）：如圖1，平面內(nèi)有三個向量 、 、 ，其中與 與 的夾角為120°， 與 的夾角為30°，且| |＝ | |＝1，| |＝2 ，若 ＝λ +μ （λ，μ∈R），則λ+μ的值為 6 。

（分析：本題要求學(xué)生對向量加法的平行四邊形法則、平面向量基本定理深入理解。）

例2：06高考（山東）設(shè)雙曲線 - =1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，右準線l與兩條漸近線交于P、Q兩點，如果△PQF是直角三角形，則雙曲線的離心率e= 。

（分析：本題要求學(xué)生對雙曲線的定義及相關(guān)量之間的關(guān)系深入理解。）

二、平時注重一些常規(guī)結(jié)論的熟識及拓展，同時注重數(shù)形結(jié)合（文氏圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖像及方程的曲

線）和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，有利于快速準確的解決問題。

例3：07高考（江西）：在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若 =m ， =n ，則m+n的值為2。

（分析：若能熟識結(jié)論：（1）在△ABC中，點O是BC的中點，則= （ + ）；（2）若 =λ +μ ，則M，N，O三點共線的充要條件是λ+μ=1，則此題迎刃而解。當然，本題用特殊位置MN與BC重合能更加迅速得到答案。）

變題1：如圖2：OM//AB，點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且 =x +y ，則x的取值范圍是（-∞，0）；當x=- 時，y的取值范圍（ ， ）。

（分析：本題主要考查向量加、減法的三角法則及逆向使用。）

變題2：OM//AB，點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）且 =x +y ，則實數(shù)對（x，y）可以是 ③ 。① ， ，②- ， ，③- ， ，④- ， 。

（分析：本題考查向量加法的三角形法則及結(jié)論，若 =λ +μ ，則M，N，O三點共線的充要條件是λ+μ=1。）

變題3：兩線段OA與OB的延長線及線段AB構(gòu)成平面區(qū)域，下列向量在該區(qū)域內(nèi)的是 ①② 。① +2 ，②+，③+，④+，⑤-。

（分析：本題除應(yīng)用變題2涉及結(jié)論，還涉及結(jié)論的拓展：直線兩側(cè)λ+μ與l的大小各異。）

例4：07高考（寧夏）：已知{a }是等差數(shù)列，a +a =6，其前5項和S =10，則其公差d= 0.5 分。

（分析：無論等差數(shù)列還是等比數(shù)列，其下標和性質(zhì)及下標和與前n項和公式的關(guān)系都是必考的知識。）

三、 特殊值（形）法是解決某些唯一性結(jié)論或值為定值問題的一種有效、迅速的方法。

此時，我們只須把題中的參變量用特殊值（或特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、圖形特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到結(jié)論。這是填空題實現(xiàn)“小題巧做”的最重要的方法。

例5：05高考(全國）：△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H， =m( + + )，則實數(shù)m = 1 。

(分析:本題涉及向量運算及共線定理，數(shù)形結(jié)合解決較復(fù)雜，如果特殊化三角形，使∠C=90°，則能迅速求解。)

例6：06年高考（全國）：△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a，則cosB= 。

例7：cos α+cos (α+120°)+cos (α+240°)的值為 。

（分析：本題的隱含條件是式子的值為定值，即與α無關(guān)，故可令α=0°，計算得上式值為 。）

例8：已知等差數(shù)列{a }的公差d≠0，且a ，a ，a 成等比數(shù)列，則 的值是 。

（分析：考慮到a ，a ，a 的下標成等比數(shù)列，故可令a =n滿足題設(shè)條件，于是 = 。）

例9：已知m，n是直線，α、β、γ是平面，給出下列命題：

①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；

②若n⊥α，n⊥β，則α∥β；

③若α內(nèi)不共線的三點到β的距離都相等，則α∥β；

④若n?芴α，m?芴α且n∥β，m∥β，則α∥β；

⑤m，n為異面直線，n∈α，n∥β，m∈β，m∥α，則α∥β；

則其中正確的命題是 ②⑤ 。（把你認為正確的命題序號都填上）

（分析：依題意可構(gòu)造正方體AC ，在正方體中逐一判斷各命題。）

四、填空題的一個考查功能，就是有效地考查閱讀能力、觀察和分析能力。

新增選修2-2推理與證明是新題型的增長點，類比熟悉的知識、結(jié)論和解題方法，尋找試題的突破口甚至方法是解決閱讀題的重要途徑。如常見等差數(shù)列與等比數(shù)列，平面（二維）與空間（三維）等的類比。

例10：（08江蘇模擬）：數(shù)列{a }是正項等差數(shù)列，若b = ，則數(shù)列{b }也是等差數(shù)列。類比上述結(jié)論，若c 為正項等比數(shù)列，寫出d =，則數(shù)列{d }也是等比數(shù)列。

（分析：抓住類比對象及常規(guī)類比規(guī)則。）

例11：已知正三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離之和為三角形的高。類似地寫出空間中一幾何體相似的性質(zhì)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為正四面體的高。

（分析：要求熟悉常見二維與三維類比對象及關(guān)系。）

解填空題審題要細，運算要快，變形要穩(wěn)，答案要全，解法要活。填空題的特點是只注重結(jié)果，不考慮過程，雖然省去過程給解題帶來了速度，但是一旦結(jié)果有誤就“全軍覆沒”。因此檢驗也是解填空題的必要步驟。可采用諸如賦值檢驗、逆代檢驗、 估算檢驗、作圖檢驗、端點檢驗等多種快速而行之有效的方法檢驗。相信，通過系統(tǒng)的知識復(fù)習(xí)和有針對性的訓(xùn)練，08屆學(xué)生的客觀題不會因為考試題型的轉(zhuǎn)變而出現(xiàn)大的失誤。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”