老子的數學觀念

老子講的是哲學，怎么出來了數學觀念？

其實哲學與數學頗多相通之處，例如數理邏輯。不僅如此，哲學、數學、詩學都具有一種窮根究底、追問極致、嚴肅認真、高度發育精神能力而又極富想象力，構建了一個豐饒的屬于自己的精神世界的特性。

中國人的傳統是把數與命運聯系起來，中國人的典型說法叫做“氣數”，一個政權維持不下去了，如明朝的朱由檢，不論怎么樣努力都無法自救，國人便說他與他的王朝是氣數已盡。這里的氣具有更多的偶然的因素，更多元，更不確定，更客觀卻又深受人事的影響，如運氣、人氣、天氣、地氣、火氣、正氣、邪氣、戾氣、陰氣、陽氣、鬼氣、仙氣、神氣，脾氣……而數更有準頭，是命中注定，是月盈則虧，水滿則溢（盈滿虧溢其實都是可以用數學符號例如正負號來表示的）更帶有宿命色彩。

這也是辯證觀念，氣是不確定的，氣大致是組成勢的元素，是勢的根據，氣盡則勢衰，是天意卻與人為關系密切。但氣怎樣變成勢，怎樣具體運行則有待數學化的運作。數是宿命，是相當精確的，常常是周而復始的，是人力無法挽回的。

而到了老子這里，氣與數統一起來，就應該是道了。道就是像氣一樣地惚兮恍兮，淵兮玄兮，又像數一樣地威嚴不仁，有規律可以計算，非意志化、非價值化或超價值化，它不為任何內力外力所移易。

把預測命運稱為算命，就是說把一般預測與精確計算結合起來，就是認定可以用計算方法數學方法預見未來，把對于命運的哲學意味的討論數學化。易經的“爻”的表達方式就是兩種數學符號的排列組合——中間不斷的一個橫線是陽卦，中間斷開的一個橫線是陰卦。這實際上是想象冥冥中有一個偉大的數學演算，應該說是大道的演算與大道的功能，每個生靈的命運遭遇，都與你碰到什么樣的演算式子，與你碰到什么樣的演算結果——得數或答案有關。

國人說自己倒霉叫做“點兒背”，點兒不知道是不是指“擲色子”的結果顯示。其實賭博完全是一種數學游戲，玩的是數字（例如麻將牌的從一到九）是組合是概率也就是運氣。玩的是心跳。運氣當然與命運緊密相伴，而概率的特點就是它既是充滿變數、變化無窮、神秘莫測的，又是有自己的規律、自己的公式、自己的法則的。它像命運一樣無常，又像數學一樣精確。它主宰著一切卻又若隱若現、忽隱忽現。概率如上帝，真是太偉大了！

中國人一般不喜歡奇數，一個人倒霉事碰到的太多，就干脆說自己是“數奇”。偶數有一種相互的響應與配合，例如明君與賢臣互遇互濟，慈父與孝子互遇互濟，名師與高徒互遇互濟，還有日月、寒暑、夫妻、朋友等，“奇”、畸是不好的。

當然也有別樣特殊的說法，例如九，由于是最大的個位數又與久諧音，被認為吉祥。七巧、五行、三才（天地人）、一元都是偉大的。這里單數是母體，是自生的，偶數是運作，是派生的。

命運與數學，這個問題我一直極有興趣。我多次講過三三二二的故事，你拿四種顏色（如紅、白、黃、綠）的球各五個放入一口袋中，每次摸出十個，大約百分之七十左右的情況下摸出的相同球色是三三二二之比。如三紅三白二綠二黃，或其他，球色可變化成四種排列組合，但比例多為三三二二不變。其次可能出現機會較多的是四三二一。再次是四四一一。再次是四四二○。再次是五四一○或五三二○，兩者出現的概率差不多。最少出現的情況是五五○○。據數學家計算，出現五五○○的概率只有十萬多分之一。鬼機靈的小販，便以此作局，要你摸球博彩，把五五○○列為頭獎，把三三二二設為罰款，使多數人被罰，乃至埋怨自己手氣不好。

讀者可以拿撲克牌麻將牌做試驗，百試不爽，越是試得多越是精確。其次較多的概率出現于四三二一或三三三一。完全偏于一方即五五○○的概率真最低。據數學家告訴我，出現最后一種比例的概率真是十余萬分之一。

我始終認為，概率的法則正是大道的一個組成部分。它的特點是既多變又傾向于平均。傾向于平均卻又不是絕對平均。我多次說過，數學，特別是概率，應該是天意的一個實質，是上蒼的意旨的一個實質。我的這個說法曾經使一位西班牙籍女漢學家反感，她認為類似上帝這樣的概念豈能與數學公式聯系起來。但是只要我們深入地體會，我們就會感受到數學的某些至高無上的品質：它捉摸不定，它實有定則，它或不公正于個體，它準確于眾多。它有旦夕禍福，它有不測風云，它有一定之規，它有天公地道，它既精確準確又充滿悖論。

三三二二與四三二一的故事說明，萬物趨向于平衡平均，又同時趨向于變易與不平均，因為如果你的摸球的要求是十二個而不是十個，顏色比例為三三三三的可能性反而比摸十個球的顏色比例三三二二的可能性小得多。

大道的特色也是這樣，既平衡又不平衡，既平均又不平均。既一以貫之又時有變數，既公正又或有不公正，而或有的不公正后面，也許正是大大的公正。

所以老子一會兒是說道如露水，普降天下而自勻，一會兒又講天地以萬物為芻狗，對誰也不心疼。一會兒講世人皆知善之為善斯不善矣，一會兒又講天道無親，常與善人。老子還講什么“道者……善人之寶，不善人之所保”。

老子那個時候雖然沒有現今的高等數學，但是天才的老子達到了某些高等數學所達到的高度。他的大道，實際上就是無窮大的概念，就是∞，就是永恒，就是“常”，就是永遠的開始與永遠的終極，就是無與有的統一。

為什么道可道非常道？因為數可（計）數，就不是無窮大。

為什么能夠統一無與有、超越無與有、包容無與有呢？無就是0，有就是1。有了0與1，就有了二進位，就有了一切功能，電腦就是這樣設計與運轉的。道作用到無與有上面，即∞作用到0與1上面，∞×0→從0到∞的任何數，而1÷0→∞，1÷∞→0。0÷0→∞以外的任何數。道的作用是無中生有，有復成無的關鍵所在。

從道當中，從0與1中，可以產生出一切數目來。

老子還講道生一，一生二，二生三，三生萬物。這也是天才的論斷。道是無所不包的無窮大，也是無可替代的、無有出其外的一切。用郭沫若詩《鳳凰涅》中《凰歌》的句子就是“一切的一”與“一的一切”。其實漢語中的“一切”一詞就極有趣，既是一，又是多即全部，我們說萬物歸一、萬象歸一、萬法歸一，即謂你找到了道這個干脆等于無窮大的概念，也就是找到了唯一、統一、同一、一元、一致、一切。一等于無限大等于道。

這就叫做定于一。有了這個一，才有穩定，才有永恒，才有長生，才有不死。個體總是要死的，但是天不變道亦不變，你活著的時候與大道是什么關系，你死后與大道仍是什么關系，道是那株無邊無沿無休無不在的永生的大樹，而萬物“萬象”萬法都是它的片片葉子。

那么一生二呢？一個是一分裂為二，一個是一產生自己的對立面，成為了二。有了生就有了死，這是一生二。有了語言就有了文字，有了語言與文字的聯系與脫節，這也是一生二。有了人就有了男女，這也是一生二。有了資本主義就有了反資本主義，有了政權就有了造反革命。有了快樂就有了憂愁。有了疾病就有了醫藥。這都是一生二。

然而精彩之處在于：老子并不是只提倡一個一分為二，二再變成四，不斷分裂不斷斗爭。老子認為，二即兩方面相互矛盾相互斗爭相互交融相互補充的結果會出現新的東西、新的存在、新的觀念。就好比雌雄結合就會出現子女，子女后代就是三了。生死相作用就出現了醫學、養生、了悟、來世說、循環說與對于生死的超越。這也是二生三。語言與文字交互作用，就出現了新解、訛傳、從語音到語義的演變等“三”。天與地交互作用就出現了第三種元素：人。于是我們講的是三才，是天時地利人和。所謂二生三，關鍵在于二的相互作用的結果能產生新東西，三三三三起來，就有了萬物。所以老子說的是“三生萬物”。

所以龐樸教授提倡一分為三。

老子的大道，有時似乎頗富物質性：惚兮恍兮，其中有象，恍兮惚兮 其中有物。有物混成，先天地生，寂兮寥兮，獨立而不改……吾不知其名，強字之曰道……

這也像數學，二加三等于五，兩個雞蛋加三個雞蛋等于五個雞蛋，明確具體極了。

有時道又像是精神，如說“大道廢，有仁義”，如果大道是前面講的獨立而不改的物質，又怎么可能被廢掉呢？功遂身退，天之道也，這也是講一種原則、一種規律、一種精神。“以道佐人主者，不以兵強天下”，當然也不是指用某種物質幫助人君，而指某種智慧境界精神輔佐人主。“古之善為道者”云云，也是指精神。總括說來，道作為精神解的地方比較多，作為物質解的地方比較少。

這也像數學，數學可以忽略具體。直線似乎是形象的，然而直線又是絕對提純了的，在形而下的世界中并不存在的。

那么為什么在老子這里精神與物質可以統一呢？就因為道是無窮的同義語，而物質與精神兩條平行線，在無限遠處趨向于相交。

“為道日損”也是一個數學概念，就是說，為道、學道、司道，不是要求你增加什么，不要你做加法，而要你做減法。凡人愚人太喜歡做加法了，金錢、財物、知識、名譽、地位、設施，總之他擁有的一切，都是多多益善。然而，你要為道“學道”悟道嗎，你要做減法，每天減去一點負擔，每天減去一點偏見、私心、雜念。

有了老子的大道的觀念守候在那里同，就像研習數學有了一個無窮大的觀念樹立在那里，道，其用不敝，當然，無窮大用掉多少，支出多少，減去多少，仍然是無限大。道的大盈若沖，其用不窮，也是同理。同時老子在尋找0與無窮大的接軌，至少我們可以想象，對于無窮大來說，直線與圓周可以相通。大直若曲呢，則是以無限作為參照，曲線與直線的區別接近于0，即實無區別。

數學家們認為無窮大是一個激動人心的命題，認為“無窮既是人類的偉大朋友，又是人類心靈寧靜的最大敵人”（德國數學家希爾伯特，一八六二—— 一九四三），希爾伯特又說：“……徹底弄清這一概念（指無限）的實質，已遠遠超出了特殊的科學興趣的范圍，它是維護人類智力尊嚴本身的需要。”

數學中關于潛無窮，即認為無窮是一個無限延伸與無限變化而且是永遠完成不了的一個過程，與實無窮即認為無窮是可以自我完成的無限實體或無限整體（一的一切與一切的一）的討論也與道的特性相通。從認識論與展望未來的角度看，道是一個潛在概念，人們對于道的認識與道本身的運動永無完結。而從本體論的角度看，道是一個實在的概念。世界已經存在了無窮的時間，已經具有無窮大的空間，世界已經是而不是可能是無窮大的了。不這樣看就等于承認時間是有起源的，如果有起源。起源之前又是什么呢？道的特性曰遠曰淵曰深曰希曰微，這些概念都帶有數學的無窮意味。深遠淵帶有無窮大的意味，夷希微帶有無窮地接近于0的意味。而道的另一個被老子稱作“反”的特性，則令人聯想到有關無窮的種種數學悖論。

再說，一切的一，一切統一于無窮大，這也恰恰與偉大德國數學家康托爾的集合理論相通。我們可以借用康托爾的集合論的語言來描述道的概念，道是萬物的集合，更是這種集合的本質。正像康托爾講解“我們把全體自然數組成的集合簡稱作自然數集，用字母N來表示”一樣，我們也可以把自然界的一切存在組成的集合的本質用漢字“道”來表示。同時康托爾把無限的整體作為一個構造完成了的東西看待，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮。老子同樣把道既看做一個先天地生、不斷發展變化的實在，又看做一個已經完成的實在兼本質、概念——按不列顛簡明百科全書的解釋，它是世界的本原、本體、規律、原理，是世界的終極根源、是無所不覆、無所不載、自生自化的宇宙本體。這就超越了關于實無窮與潛無窮的紛爭。

也許，說老子有類似無窮的數學觀念令人難以信服。我們至少可以說老子的哲學思維與歐洲大數學家哲學家的思維有互證互文之處。再不然我們還可以退一步，就是說竊以為：以數學的關于無窮無限的觀念來描繪或啟發人們對于老子的道論的理解，很有幫助，也很有趣味。

我甚至認為，幾乎找不到更合適的語言講解老子的“道”，除非你熟悉數學家關于無窮、無限的論述與公式。例如：

它是對無限最深刻的洞察，它是數學天才的最優秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一。

超限算術是數學思想的最驚人的產物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現之一。

這個成就可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作。

康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數學的最令人不安的獨創性貢獻之一。

如果我們把上述一些說法的數學改為哲學，把康托爾的無窮集合論變成老子的大道論，那么這些說法都可以成立。

老子的有之以為利，無之以為用的說法也有點數學的內涵。有之，就是1，無之就是0，進行運算，沒有1不行，沒有0也不行。

老子講有無特別是無的功用的時候，特別舉出車輪、器皿與房室做例子。這里邊有點幾何學的思量。例如房室，你修建的是幾個平面或球面，屋頂、墻壁、地面，你使用的是這幾個平面所保護起來的立體，是空間。

老子的以無有入無間，莊子的庖丁解牛，則是尋找無間之間，探討近于0的間隙。近于0也仍然有間隙，這與現代物理的觀念一致，所有的物質其實都充滿間隙，無間的判斷是相對的，有間與無間是辯證的統一。

老子的百分比觀念也極有趣，他說生之徒，十有三。死之徒，十有三。人之生生，動之于死地，亦十有三。利生的因素（一說長壽者，存疑）百分之三十。促成死亡的因素（一說夭折者，同疑）百分之三十。為了生而努力，結果走向了反面，變成了催死速死的因素，也占百分之三十。

老子已經認識到，數字、數學的表達與考量，具有其他方式所沒有的概括性、精當性、鮮明性與說服力。數學的討論具有高規格性、深刻性、天才性、智慧性與生動性。他在談到生與死的時候來了一個三三制，同時留下了百分之十即一成未做明確定義。他太智慧了。

他的三成生的因素，已經令人鼓舞。

他的三成死的因素令人清醒、警惕，同時有所思想準備。

他的所謂為了生，搞成了死的三成因素，令人肅然清醒，一身冷汗。

他的共六成死亡因素，令人不敢掉以輕心。

他的一成未定義，令人思索徘徊。如果你能把這一成未定義變成生的因素，你就有四成生的把握了，否則就是七成死的危險。馬虎不得！

我無意把老子往數學上引，我個人的數學知識亦十分不足，我歡迎真正的數學家指出我的所說的知識性錯誤與不足。我更盼望數學家參與研究老子。我這里只是講思辨的共同性，講高等數學已經進入了哲學范疇，或者說高級的思辨的哲學，必然包含著數學、美學、神學、物理學的因素。

不僅是哲學與數學關系如此緊密，就是詩學，也充滿了哲思以及與數學并肩媲美的想象追尋。早在二十年前，文藝學家林興宅已經提出最高的詩是數學的有趣命題了。

是的，宗教、哲學、數學與詩學，都是那樣地牽掛著、想象著、思索著或者崇拜著無窮、永恒、命運、法則、淵深和精微。無窮這樣一個思想觀念，激發起宗教的膜拜、依靠與恐懼，驅動著哲學與數學的智慧、思維、理性、邏輯、真理，呼喚著文學的——詩的想象、壯美、悲凄與狂喜的深情。這樣的殊途同歸，這樣的精神的自由（康托爾：數學的本質在于它的充分自由），這樣的驕人的成就（羅素：這個時代的能夸耀的最巨大的成就，指康托爾關于無限的集合論），這樣的精神勇氣與偉力（俄國數學家柯爾莫戈洛夫：康托爾的功績在于向無限冒險推進）令我們不能不想起我國的兩千數百年前的老子，不能不想起他的關于道的思索與感悟。

偉哉老子，偉哉大道！