數學發現能力成分之間的交互作用

摘要： 培養數學發現能力是提高學生數學創新能力的重要途徑。本文從交互作用的三個角度出發探討了數學發現能力成分間的關系，以找出數學發現能力的規律性特征，使教師在實際教學中更好地把握學生數學發現能力的培養。

關鍵詞： 數學發現能力 交互作用 促進作用

數學發現能力是指針對某一種情境，能夠提出關于某種數學結構、數學關系的猜想，或針對特定情境創造出解決問題的新穎方法的能力。進行數學發現有助于拓寬學生思路，培養創造性思維能力。在數學發現過程中，各種要素之間的聯系多種多樣，只靠單一的一種成分或要素往往是做不出數學發現的，所以有必要對數學發現能力的各個要素間的作用作一分析。

數學發現能力包括：歸納思維能力、類比思維能力、直覺思維能力、發散思維能力、批判思維能力。這五個要素較全面地概括了數學發現過程中的思維方法。這里的歸納思維能力和類比思維能力是嚴格意義上的歸納和類比思維能力，屬于邏輯思維能力的范疇。直覺思維能力、發散思維能力、批判思維能力屬于非邏輯思維能力。已有的研究表明數學邏輯思維與數學非邏輯思維之間存在著交互作用。

一、歸納和類比的交互作用

歸納思維能力是指通過對某類事物中的若干特殊情形的分析而得出一般結論的思維能力。類比思維能力是指由兩個對象或兩類事物的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維能力。作為數學發現過程中最重要的兩種邏輯推理，歸納和類比之間存在交叉部分，且在數學發現的產生過程中歸納與類比輪流發揮作用。

進行歸納的信息加工過程是對一些數學對象進行多方面的比較，包括量的大小、空間形式、關系結構、數學性質等的比較，以區分這些數學對象的異同點，除去不同點，抽象出這些數學對象的共同屬性，從而得出這一類數學對象也具有這些共同屬性。而進行類比的信息加工過程是分析所給數學對象（為敘述方便稱之為數學對象1）的數學結構，聯想已有的與此數學對象具有相似結構的數學對象（已經解決過的問題或已有的成熟的理論，為敘述方便稱之數學對象2），然后比較這兩個對象具有的共同屬性的相似性，由數學對象2具有其他屬性猜測數學對象1也具有相似的屬性。進行歸納和類比都要進行分析比較，之后兩者各行其路。歸納和類比是一個樹上的兩個分枝，具有共同的根基，又不乏個性。要想掌握好歸納和類比，必須打好根基，即掌握分析和比較。

在眾多的數學發現的產生過程中，大多不是只通過類比或歸納就能得出的，往往是類比與歸納輪流使用，共同發揮作用才能得出具有創造性且可靠的數學發現。例如，人們把正方形面積概念“順理成章”（類比“理”，歸納之“章”）地類推到三角形、一般四邊形、多邊形和曲邊封閉圖形。再如華羅庚在發現非凡的合成原則時通過類比發現了“有物不知數”問題同“有函數不知形”問題（插值問題）在結構上類似，因而猜想出在解法和解題原則上的類似，從而成功解決插值問題。之后華羅庚又不斷類比，反復搜求，發現了一系列類似情況，用《算法統宗》中的歌訣透露的一般方法同樣成功地解決了插值問題，最后歸納出意義重大的合成原則。整個推理過程表明：華羅庚正是通過對類似的情況進行歸納才發現了合成原則。

歸納和類比是數學發現的重要方法，綜合運用歸納和類比才能促進數學發現的產生。數學發現能力是一個綜合能力，歸納和類比只是其基本的思維方法，要作出具有創造性的數學發現，還需要其它能力如直覺思維能力、發散思維能力、批判思維能力的參與。已有研究表明數學發現的最大推動力和催化劑是數學直覺思維。著名數學家彭加勒指出，數學發現的實質就是一種選擇，即在數學事物無窮無盡的組合中，選擇出有用的組合，拋棄無用的組合，從而取得有用的新成果。而選擇能力的基礎是數學直覺，所以數學發現的實質或核心就是數學直覺。然而如果沒有敢于標新立異、敢于突破舊框架，掃除陳規的精神和思維能力，沒有對事物進行多方向、多角度的擴散思維能力，是做不出具有創造性的數學發現的。

二、直覺思維能力與歸納、類比思維能力的交互作用

直覺思維能力是指個體憑借感性經驗和已有知識，對事物的性質作出直接判斷或領悟的思維能力。在數學發現中直覺思維能力就是對于數學對象、結構及關系的迅速而直接的洞察或領悟能力。研究表明歸納、類比與數學直覺思維的聯系最密切。

1.直覺思維與歸納

在數學發現中只靠直覺思維是不能產生什么結果的，必須和其它思維方法結合。直覺思維和歸納結合產生了直覺歸納，這是直覺思維和歸納的交互作用（交叉，內容交織或重復）。直覺歸納是一種高層次的歸納，是通過觀察和比較，領悟、發現某種關系或屬性，而不是運用任何邏輯規則的結果。結論的真理性是或然的。它是一種在感覺經驗資料中看到本質的能力，是直覺洞察力的方式之一。直覺歸納既表現了直覺思維的特性，也運用了歸納的方法。直覺歸納在直覺思維下的歸納，是歸納的高級形式。許多數學原理或猜想往往是通過直覺歸納提出的，而后才用嚴格的邏輯推理加以證明。正如高斯說，他自己的許多定理和重大發現都是靠直覺歸納得來的，證明只是后來補上去的手續。

2.直覺思維與類比

直覺思維與類比結合產生直覺類比，直覺類比是高層次的類比，是一種超越于邏輯的類比，思維過程具有很大的跳躍性。直覺類比是能對表面上毫無共同之處的兩個對象（如數學概念、數學結構或數學理論）覺察到某種特點上或某一抽象層次上的相似之處。直覺類比中，直覺起思維方式的作用，類比作為思維方法起作用。直覺類比就是直覺思維與類比的交叉作用的產物。在數學發現中，常常借助直覺類比把表面上似乎無關的對象納入到更高層次的理論框架中去。

三、發散思維能力與批判思維能力對直覺思維能力的促進作用

在數學發現過程中，直覺思維能力具有尋找事物聯系的功能。當人們通過邏輯思維無法找到事物的聯系時，直覺思維往往能抓住事物之間的聯系，如用直覺歸納和直覺類比發現數學對象之間的共同之處和相似之處。直覺歸納和直覺類比的順利進行需要發散思維和批判思維。發散思維和批判思維雖然很難導致數學發現，但它們卻可以促進數學直覺思維和數學發現的產生。

發散思維能力是指個體對已知信息進行多方向、多角度的擴散思維能力。吉爾福特認為發散思維有三個特征：一是流暢性，指對事物反應迅速，在短時間內可以想出種種不同的念頭。二是變通性，指對事物能夠隨機應變、觸類旁通，不受各種心理定勢的影響。三是獨特性，指對事物能夠有不同尋常的見解。在數學發現中直覺思維能力是對數學對象、結構及關系的迅速而直接的洞察或領悟能力。發散思維的流暢性在直覺思維對數學對象、結構及關系做出迅速而直接的判斷時提供豐富的選擇；發散思維的變通性使直覺思維開闊視野，能夠隨外部條件的改變迅速得到直覺結果。

批判思維能力是指個體不墨守成規，敢于質疑，敢于批評對象的思維能力。批判思維具有獨立性、挑戰性、創新性、超越性。批判思維的這些特性可以保證數學發現過程中數學直覺思維成果的成效性，使數學直覺思維結果更有價值。

四、結語

數學發現能力成分之間不是孤立起作用的。一個成功的數學發現的產生需要各個成分間的有機配合。在實際教學中，教師不僅要教給學生基本的歸納、類比方法，更重要的是要讓學生懂得綜合運用歸納和類比方法的有效性和重要性；不僅要培養學生直覺思維能力、發散思維能力、批判思維能力，更重要的是培養學生直覺歸納和直覺類比的思維能力。

參考文獻：

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