談等差數列及等比數列的“遺傳”與“變異”

我們知道等差（比）數列的本質屬性是an+1與an的差（比）是同一個常數，這個本質屬性有時會遺傳到在由等差（比）數列構造而得的新數列中，而有時在構造的新數列中會失去這個本質屬性，以致產生變異，這就是等差數列及等比數列的“遺傳”與“變異”。為方便起見，下文中的數列a及b都是無窮數列。

1. 遺傳

若數列a是公差為d的等差數列，則由此構造出的以下數列是等差數列。如：

(1)a去掉前面幾項后余下項組成的仍為公差為的等差數列。

(2)所有的奇數項組成的是公差為2d的等差數列；所有的偶數項組成的是公差為2d的等差數列；形如a（其中k是常數，且k∈N）的數列都是等差數列。

由此可得到的一般性結論是：凡是項的序號成等差數列（公差為k）的項依次組成的數列一定是等差數列，公差為kd。

(3)數列c#8226;a（其中c是任一個常數）是公差為cd的等差數列。

(4)數列a+c（其中c是任一個常數）是公差為d的等差數列。

(5)數列a+a（其中k是常數，且k∈N）是公差為(k+1)d的等差數列。

(6)若b是公差為d1等差數列，且p，q為常數，則數列p#8226;a+q#8226;b一定是公差為pd+qd1的等差數列。

(7)等差數列a中，任意連續項的和是它前面連續項的和與它后面連續k項的和的等差中項，也就是說這些連續項的和也構成一個等差數列。

若a是公比為q的等比數列，則由此構造出的以下數列是等比數列。如：

(1)a去掉前面幾項后余下項組成的仍是公比為q的等比數列。

(2)項的序號成等差數列（公差為k）的項依次取出并組成的數列一定是等比數列，公比為qk。

(3)a數列是公比為q的等比數列。

(4)c#8226;a數列（c是任一常數且c≠0）是等比數列，公比仍為q。

(5)a（m是常數，且m∈k）是公比為qm的等比數列。

特殊的：若數列a是正項等比數列時，且是任一個實常數，則數列a是公比為qm的等比數列。

(6)a+a（其中k是常數，且k∈N）是公比為qk+1的等比數列。

(7)若b是公比為q1的等比數列，則a#8226;b是公比為q#8226;q1的等比數列。

(8)等比數列a中，若任意連續k項的和不為0，則任意連續k項的和是它前面連續項的和與它后面連續k項的和的等比中項，也就是說這些連續k項的和也構成一個等比數列。

2.變異

若數列a#8226;b，均為不是常數列的等差數列時，則有：

(1)當數列a中的項不同號時，則數列a一定不是等差數列。

(2)數列a+a不是等差數列。

(3)a（m是常數，且m∈k，m≠1，an≠0）不是等差數列。

(4)數列a#8226;b不是等差數列。

若數列a為不是常數列的等比數列時，則有：

(1)數列a+c（其中c是任一個不為０的常數）不是等比數列．

(2)數列a+a不一定是等比數列。如an=(-1)n時，則an+an+1=0，所以a+a不是等比數列。

(3)數列a+b不一定是等比數列。

3. 突變

(1)若a數列是公差為d的等差數列，則c（其中c是正常數）一定是公比為cd的等比數列。

(2)若a是公比為q的正項等比數列，則loga（其中c是不等于１的正常數）是公差為logcq的等差數列。

課堂教學中向學生介紹上述等差數列與等比數列的“遺傳”與“變異”，既加強了數學與生物兩學科間的橫向聯系，有利于激發學生的學習積極性，也能使學生對“遺傳”與“變異”有新的認識，同時又可以使學生加深對等差數列及等比數列知識的理解，從而更好地應用這些性質于解題之中。

(灤縣第七中學)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。