一類基于商業運作問題的最優化模型

[摘要] 通過建立數學模型研究商場現象、進行商業決策是現代市場經濟領域的常用手段。本文研究了一類商業運作問題，建立了最優化模型。對模型進行的靈敏性分析表明，該模型具有良好的適用性，可以作為決策的依據。同時，建模方法具有推廣借鑒價值。

[關鍵詞] 數學模型 非線性最優化 線性規劃 靈敏性分析

利用數學模型研究商場現象、進行商業決策是現代市場經濟領域的常用手段。本文旨在研究一類商業運作問題，建立了非線性最優化模型。該問題表現出錯綜復雜的商業利益關系，其原始提法可以參見，現將其整理重述如下:

某家地方日報最近被一家大型媒體集團收購。報紙現在的零售價是1.5美元每周，發行量為80000份。報紙的廣告價格是250美元每頁，現在售出350頁每周(即50頁每天）。新的管理方正在尋求提高利潤的方法。據估計，報紙的訂閱價格提高10美分每周，會導致訂戶數下降5000。報紙廣告價格提高100美元每頁，會導致每周約50頁廣告的損失。廣告的損失又會影響發行量，因為人們買報紙的一個原因就是為了看廣告。據估計，每周損失50頁廣告會使發行量減少1000份。如何確定報紙價格和廣告價格以使利潤最大？

現在，在報紙上登廣告的廣告商可以直接將廣告郵寄給他的客戶。直接郵寄的花費相當于500美元每頁的報紙的廣告費用。這一情況會對上面所制定的價格策略產生怎樣的影響？于是，報紙管理方決定廣告價位的提高不超出400美元每頁的價格。此時，如何確定報紙價格和廣告價格以使利潤最大？

對上述報紙問題考慮經營開支。現在每周的經營開支包括為:80000美元付給編輯部門(新聞、特寫、編輯），30000美元付給銷售部門(廣告），30000美元付給發行部門，60000美元為固定消耗(抵押、公用事業股票、運轉經營)。新的管理方正在考慮削減編輯部門的開支。據估計，報紙在最低40000美元的編輯預算的條件下可以維持經營。減少編輯預算可以節約經費，但會影響報紙的質量。根據在其他市場的經驗，每減少10%的編輯預算，會損失2%的訂戶和1%的廣告費。管理方也在考慮提高銷售的預算。最近，在一個類似的市場上另一家報紙的管理者將其廣告銷售預算提高了20%，結果多獲得了15%的廣告費。銷售預算可以提高到最多50000美元每周，但總的經營開支不能超過現在的200000美元每周的水平。假設依然保持報紙價格為1.5美元每周，廣告價格為250美元每頁。如何確定編輯預算和銷售預算以使利潤最大？對每一約束的影子價格解釋其實際涵義。再進一步地，假設編輯預算的削減在市場上產生了相當強烈的負面作用，減少10%的編輯預算導致報紙損失q倍的廣告和2q倍的訂戶。確定最小的q值使得如果不減少編輯預算，報紙的盈利情況反而要好些。

上述敘述基本上模擬了實際商業問題，各方經濟利益交織在一起。我們通過建立一個非線性最優化模型將這一問題給出圓滿的解答。為此，以周為單位，先設出如下變量：p表示報紙價格（美元每份），a表示廣告價格(美元每頁），s表示廣告銷售量(頁），c表示報紙發行量(份），R表示每周的總收益(美元）。顯然，s=350+50(250-a)/100，c=80000+5000(1.5-p)/0.1+1000(s-350)/50，R=pc+as，這里p≥0，a≥0。我們問題轉化為，求報紙價格p和廣告價格a，以使每周的總收益R最大。這是一個多變量最優化問題。為此，令x=p，y=a和z=R，于是，問題的優化模型可以表示成:

maxz=x(80000+5000(1.5-x)/0.1+1000(50(250-y)/100)/50)+y(350+50(250-y)/100)，

s.t.x≥0，y≥0。

可以通過Maple解決上述問題。問題的解是，x=1.53，y=459.71和z=229592.1。這意味著，模型建議維持報紙每周的價格1.5美元不變，但提高廣告費用到450美元每頁，在此前提下，每周的總收益大約為229600美元。

下面我們進行靈敏性分析。由假設，當報紙的訂閱價格提高10美分每周時，導致訂戶數下降5000。通過計算，可以得到靈敏度為S(x，n)=-0.51，S(y，n)=+0.017和S(z，n)=-0.01，其中n表示下降的報紙訂戶數5000。這一結果表明，對于訂量而言，報紙的最優價格是敏感的。當報紙廣告價格提高100美元每頁時，會導致每周約50頁廣告的損失。類似的計算，可以得到靈敏度為S(x，m)=+0.01，S(y，m)=-0.76和S(z，m)=-0.22，其中m表示損失的廣告頁數50。這一結果表明，對于廣告頁數而言，報紙的最優廣告價格和最大收益是敏感的，但是，報紙的最優價格并非如此。如果廣告價格增加10%，總收益就會下降2.2%。

為了防止廣告銷量從直接投遞廣告的競爭中受到損失，有理由建議廣告的最優定價應低于450美元每頁，盡管看上去450美元每頁依然低于直接投遞廣告的相當花費500美元每頁，但要知道原來的價格是250美元每頁，提價過高并不利于吸引廣告商，更何況尚無法鑒別報紙廣告與直接投遞廣告兩種形式那種更有效。下面就將討論廣告價格提高到不超過400美元每頁的情況下所面臨的形勢。

依然采用剛才所設變量，目標函數也不變，但這里廣告價格a≤400美元每頁。這將是一個有約束的最優化問題，在此所采用的數學工具是Lagrange乘子法。優化模型可以表示成:

maxz=x(80000+5000(1.5-x)/0.+1000(50(250-y/)100)/50)+y(350+50(250-y)/100)，

s.t.s≥0，0≤y≤400。

從上一問題的研究，可以看到最優解并不在可行域內。我們要逐一考察邊界上的情況。首先，考察邊界線g(x，y)=y=400。g的梯度是(0，1)，利用Maple進行計算，可得在該邊界上收益的最優點是:x=1.54，y=400和最大收益是z=227811，此時，Lagrange乘子λ=59.65。同樣地，在邊界g(x，y)=y=0上，我們得到最優點是:x=1.575，y=0和最大收益z=124031；在邊界g(x，y)=x=0上，我們得到最優點是:x=0，y=475和最大收益z=112813。因為當x充分大時，z<0，所以全局最優點在x=1.54，y=400取得，且最大收益是z=227811。我們希望廣告收入不大于400美元每頁，模型建議廣告價格設定在400美元每頁，而報紙價格每份大約增加5美分。此時，每周總的收益約為227800美元。這僅僅比上一問題的計劃預期收益229600美元少2200美元，而且這一價格策略將保護潛在廣告客戶的損失。

下面再進行本模型的靈敏性分析。由假設，當報紙的訂閱價格提高10美分每周時，導致訂戶數下降5000。通過計算，可以得到靈敏度為S(x，n)=-0.51和S(y，n)=0，其中n表示下降的報紙訂戶數5000。這一結果表明，對于訂量而言，報紙的最優價格依然是敏感的。當報紙廣告價格提高100美元每頁時，會導致每周約50頁廣告的損失。可以通過類似的計算，可以得到靈敏度為S(x，m)=-0.01和S(y，m)=0，其中m表示損失的廣告頁數50。這一結果表明，對于廣告頁數而言，當廣告價格增加時，決策變量不是敏感的。直覺告訴我們，這是由于我們將廣告價格保持在400美元每頁以內的結果。

下面討論Lagrange乘子λ=59.65的涵義。它是每周總收益關于廣告價格a的導數，當前的a=400美元每頁。例如，如果廣告價格在這一基礎上每頁提高10美元，那么總收益每周將增加596.5美元。另一方面，由于直接投遞廣告競爭的存在，可以粗略地認為，直接投遞廣告價格每1美元的下調，報紙將為此花費60美元。

針對報紙經營開支的管理，我們假設如下變量：s代表廣告銷售量(頁），c代表報紙發行量(份)，E代表每周的編輯部門開支(美元），B代表每周的銷售預算(美元），R代表每周的總收益(美元），C代表每周的支出成本(美元），P代表每周的利潤。由假設，可以由如下關系式：

s=350+(0.01×350)(E-80000)/8000+(0.15×350)(B-30 000)/6000，c=80000+(0.02×80000)(E-80 000)/8000，R=1.5c+250s，C=E+B+90000，P=R-C，

其中40000≤E≤80000，30000≤B≤50000，C≤200000。我們的目標是使P最大。這是一個多變量優化問題，依然采用Lagrange乘子法進行研究。令x=E，y=B和z=P，于是，模型可以表示為:

maxz=1.5(80000+(0.02×80000)(x-80000)/8000)+250(350+(0.01×350)(x-80000)/8000+(0.15×350)(y-30000)/6000)-(x+y+90000)

s.t.40000≤x≤80000，30000≤y≤50000，x+y≤110000。

這里目標函數是線性的，而且z的梯度不為0。因此，不存在內部極值點。模型的約束條件也是線性的，于是，沿著可行域邊界線上不存在極值點。因此，最大值點只可能在角點處取得。我們檢驗每一角點出的函數值，通過比較，可知最大值在(x，y)=(40000，50000)處取得，最大值為z=54875。這一結果表明，模型建議將編輯部門開支縮減到40000美元每周，增加廣告預算至50000美元每周。這一決策將由現在周利潤水平7500美元(即編輯部門開支為80000美元，廣告預算30000美元時)大幅度提高為55000美元。

約束條件g1(x，y)=x=40000和g2(x，y)=y=50000是關鍵約束。它們的梯度向量分別是(1，0)和(0，1)，相應的Lagrange乘子方程是(dz/dx，dz/dy)=λ1(1，0)+λ2(0，1)。在最優點，我們有λ1=-0.59，λ2=1.1875。在其他等式都成立時，每當廣告預算由50000增加到50001時，公司將凈盈利約1.19美元。在其他等式都成立時，每當編輯部門支出由40000增加到40001時，公司將為此多支出約59美分。總的來說，如果廣告預算增加1美元而編輯部門支出下降1美元，公司凈收益將增加約1.19+0.59=1.78美元。廣告預算的下界、編輯預算的上界和總預算的上界并不是關鍵約束。它們聯合的影子價格是0。需要指出，決策變量的微小變動并不影響凈收益。

模型解的可行域是被半平面x+y≤110000分割下的長方形:40000≤x≤80000，30000≤y≤50000。最優點是約束條件g1(x，y)=x=40000和g2(x，y)=y=50000的交點。兩個關鍵約束條件的影子價格非零。

通過計算可知，如果q<0.024或2.4%，那么削減編輯部門的預算至每周40000美元的水平是最佳的。如果q>0.024，那么就應削減編輯部門的預算至每周60000美元的水平。當前編輯部門的預算水平維持在80000美元并不利于公司成長。從幾何上看，最優點在水平集z=c與可行域相交處。對于q<0.024，水平集曲線帶有正斜率，對于q>0.024，水平集曲線帶有負斜率。當c>0遞增并向上移動時，僅可能在可行域的最上面的角點處取得最大值。

綜上所述，我們建立了一類基于市場運作的最優化模型。它揭示了復雜的利益關系，給出了有效的決策方案。模型所使用的數學工具涉及非線性規劃和線性規劃。對于企業管理人員而言，總是試圖通過對一些因素的控制使收益達到最大，或在達到某一預期目標的前提下使成本最低。這一應用可以建立一類共同的數學模型：有一個或多個可以控制的變量，它們通常受一些實際情況的限制，通過對這些變量的控制，從而使某個目標達到最優。本文所建立的最優模型具有借鑒意義，可以通過模型的建立思想處理其他問題。

參考文獻:

[1]Mark M Meerschaert. Mathematical Modeling [M]. San Diego: Academic Press， 2007

[2]R Fletcher. Practical methods of optimization， second edition [M]. Chichester: John Wiley Sons， 1987