基于差分進化算法和ＬＭＩ方法的Ｈ２ ／Ｈ∞混合控制問題的研究

(吉林大學 機械科學與工程學院， 長春 130025)

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摘 要：在差分進化(DE)算法和線性矩陣不等式(LMI)方法的基礎上提出了一種新型混合方法來解決H2/H∞混合控制問題。對確定系統和多面體不確定系統進行了系統的研究。DE算法用來得到控制器的樣本，LMI方法用來最小化系統的H2性能指標。該方法采用了不同的Lyapunov方程表達形式，因而減小了以往算法中存在的保守性問題。最后，通過引例證明了該方法的有效性。

關鍵詞：魯棒控制； 差分進化算法； 多面體不確定性； 混合H2/H∞控制

中圖分類號：TP18 文獻標志碼：A

文章編號：10013695(2009)03084603

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Design of mixed H2/H∞ control systems

based on differential evolution algorithm and LMIs

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LIU Shubo， ZHAO Dingxuan， CUI Gongjie

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(College of Mechanical Science Engineering， Jilin University， Changchun 130025， China)

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Abstract: Based on differential evolution (DE) algorithm and linear matrix inequalities (LMIs)， this paper proposed a new hybrid approach to deal with the mixed H2/H∞ control problem. Investigated both precisely known systems and uncertain systems with polytopic uncertainties. DE algorithm was used to obtain the population of controllers and the LMI based routines were used to minimize the H2 performance criterion. This approach was formulated in terms of different Lyapunov functions， which reduced the conservatism of the usual existing methods. Several examples borrowed from the literature are used to illustrate the validity of the theoretical approach.

Key words：robust control; DE algorithm; polytopic uncertainty; mixed H2/H∞ control

H∞控制方法較好地解決了受控系統的魯棒穩定性問題，而H2控制方法能夠使受控系統具有良好的動態性能指標，將兩者結合形成H2/H∞混合控制方法能夠較好地解決受控系統的魯棒穩定性和動態性能優化問題，因此在控制系統的設計中具有很重要的地位，并且得到了人們的大量關注[1~4]。傳統的LMI方法在解決H2/H∞混合控制問題上采用了單一的Lyapunov方程，這就不可避免地產生了一定的保守性。因此設計一個能夠減小保守性產生的方法來解決H2/H∞混合控制問題是十分必要的。

近年來，作為一種新興的進化計算技術，由Rainer Storn和 Kenneth Price在1995年提出的差分進化算法(DE)推動了新型算法的發展，并被廣泛用來解決工程、經濟學、自動控制以及計算機科學等方面的問題[5~7]。DE算法特有的記憶能力使其能夠動態地跟蹤當前搜索情況，因此具有較強的全局收斂能力和魯棒性；而且DE算法不需要借助問題的特征信息，能夠在一些常規的數學規劃方法所無法求解的優化問題中得到應用[8]。因此，DE算法作為一種高效的并行搜索算法，對其進行理論和實際應用研究具有重要的學術意義和工程價值。然而到目前為止，DE算法并沒有在解決H2/H∞混合控制問題上得到應用。為了減小以往算法中存在的保守性，本文提出了一種基于DE算法與LMI方法的新型混合算法來解決H2/H∞混合控制問題。通過例證對確定系統和多面體不確定系統進行了研究，結果表明該方法能夠有效地減小傳統LMI方法的保守性，并與文獻報道的仿真結果進行對比，進一步證實了該方法的有效性。

1 H2/H∞混合控制問題的描述

考慮如下系統： 

=Ax(t)+B1w(t)+B2u(t)z∞(t)=C1(t)+D11w(t)+D12u(t)z2(t)=C2(t)+D21w(t)+D22u(t)y(t)=Cyx(t)+Dy1w(t)+Dy2u(t)

(1)

其中：狀態向量x(t)∈Rn；控制輸入u(t)∈Rm；測量輸出y(t)∈Rp；控制輸出z∞(t)∈Rp1；z2(t)∈Rp2；外部擾動w(t)∈Rl。

輸出反饋控制可分為靜態輸出反饋

u(t)=Lky(t)(2)

和動態輸出反饋：

L:ηg(t)=Akη(t)+BKy(t)u(t)=Ckη(t)+DKy(t)(3)

其中:AK∈Rnc×nc。特殊地，當式（2）中的y=x時，靜態輸出反饋就變成了狀態反饋的形式。當系統不確定時，假定A和B2屬于如下的有界凸約束域：

DA=A;A=∑Ni=1αiAi，∑Ni=1αi=1，αi≥0

(4)

DB=B2;B2=∑Mj=1βjB2j，∑Mj=1βj=1，βj≥0(5)

1.1 關于靜態輸出反饋

通常假定Dy1=0，Dy2=0，可以得到如下的閉環系統：

=Afx(t)+B1fw(t)z∞(t)=C1fx(t)+D11fw(t)z2(t)=C2fx(t)+D21fw(t)(6)

其中：Af=Ai+B2jLKCy；B1f=B1；Cqf=Cq+Dq2LKCy，q=1，2；

Dq1f=Dq1，q=1，2；i=1，2，…，N； j=1，2，…，M。

1.2 關于動態輸出反饋

通過輸出反饋可以得到如下的閉環系統：

f=Afxf(t)+B1fw(t)；z∞(t)=C1fxf(t)+D11fw(t)z2(t)=C2fxf(t)+D21fw(t)；y(t)=Cyfxf(t)+Dy1w(t)(7)

其中：xf=xη；Af=Ai+B2jDKCy B2jCkBKCyAK；B1f=B1+B2jDKDy1BKDy1

Cif=Ci+Di2DKCy Di2CK，i=1，2

Di1f=Di1+Di2DKDy1，i=1，2； Cyf=Cy 0

引進矩陣LK=DK CKBK AK，A=A 00 0nc×nc，B1=B10，B2=B2 00 Inc×nc，Ci=Ci 0，Di2=Di2 0，i=1，2，Cy=Cy 00 Inc×nc，Dy1=Dy10，則式（7）中各個系數矩陣可以表示為

Af=Ai+B2jLKCy，B1f=B1+B2jLKDy1

Cif=Ci+Di2LKCy（i=1，2），Di1f=Di1+Di2LKDy1（i=1，2）i=1，2，…，N；j=1，2，…，M(8)

基于閉環系統式(6)和(7)，分別用Tz∞w(s)和Tz2w(s)表示w~z∞和w~z2的閉環傳遞函數，則H2/H∞混合控制問題描述為：對于任意一個給定可行的H∞性能γ，在滿足H∞性能約束‖Tz∞w‖∞＜γ的前提下，設計一個合適的、固定結構的控制器LK，使得系統的H2性能達到最小[9]。

minx2＞0，x∞＞0LK trace(C2fX2CT2f)(9)

AfX2+X2ATf+B1BT1＜0(10)

AfX∞+X∞ATfB1fX∞CT1f

BT1f-IDT11fC1fX∞D11f-γ2I＜0(11)

當i，j=1時，系統由不確定狀態變為確定狀態，這就意味著A和B2不再改變。線性矩陣不等式(9)~(11)對于變量(X2，X∞，LK)并不能提供一個凸約束，但是對于每一個確定了的LK而言，它卻提供了一個凸約束的刻畫。應當指出，該方案并不需要假定相同Lyapunov矩陣X2=X∞成立，從而降低了算法的保守性，并能使系統的H2性能指標達到更小。

2 DE算法和基于LMI的優化算法

2.1 DE算法的介紹

DE算法首先是由Rainer Storn和Kenneth Price提出。大量結果表明，與其他直接尋優算法（如遺傳算法）相比，差分進化算法的優點是魯棒性能較好，能夠更好地尋找到全局最小值。DE算法包括三個重要參數，即種群大小NP、變異率F和交叉率C。DE算法采用實數編碼對種群中的個體進行操作。初始種群在給定的一定范圍內隨機地進行初始化。初始化操作結束后，DE算法進入到了基因進化階段，即變異、操作和選擇，并按順序依次執行[10]。 

變異操作是DE算法中最重要的步驟。變異操作存在多種方案[10]。在本文中，變異操作表述如下：

vM，i=vn，p3+F(vn，p1-Vn，p2)；i≠p1，p2，p3（12）

其中：n表示進化代數；p1、p2和p3是隨機選擇的三個不同個體；F∈(0，2]是變異率；M代表匹配池。經過變異操作后，通過執行交叉運算便得到了如下的實驗向量：

vB，i=vM，iγ≤Cvn，iotherwise(13)

其中:B代表實驗向量種群；γ是0~1的隨機數；C是交叉率。

選擇過程是用來選擇優良后代的最后操作。個體適應值是通過計算目標函數而得到的。如果實驗向量個體的適應值優于（即小于）其相對應的父代個體的適應值，那么該實驗向量個體就會存活下去，成為下一代種群中的個體。這些操作會反復下去，直到n達到了其預先設定值或終止條件得到滿足。

2.2 關于控制器設計的若干說明

1)初始化 在一個確定的范圍內初始化控制器個體。在初始化后的個體中，并不是所有個體都能滿足LMI約束條件(式（9）~（11)），因而它們成為了不可行個體。為了縮短進化時間和保證初始種群個體的有效性，要對不可行的個體重新進行初始化操作，直到它們成為可行性個體為止。 

2)目標函數 對于確定系統，目標函數定義為J(LK)x2＞0，x∞＞0=min[trace(C2fX2CT2f)]。對于種群中的個體而言，目標函數值是通過使用LMI工具箱中的命令計算得到的。對于多面體不確定系統，控制器設計的目的是使系統的最差H2性能指標達到最小；對于系統的所有頂點，目標函數為J=max{‖Tz2w2‖2}。

3)變異、交叉和選擇操作 在本文中，變異率和交叉率分別取值為0.8和0.5。經過變異和交叉操作后，便產生了實驗向量。由于進行了變異和交叉操作，在實驗向量中便產生了不可行個體。在選擇操作的過程中，對實驗向量中的不可行個體采取了懲罰措施，即通過增大它們的目標函數值，使得這些不可行的個體遭到淘汰。

3 例子

例1 考慮如下系統 [11]:

A=01-10｜，B2=01｜，Cy=(0 1)，B12=I2

B1∞=10｜，C2=1 00 0｜，C1=(0 1)，D22=01｜

DE算法產生大小為10的初始種群。經過6代進化得到輸出反饋控制器LK=[-0.99277]，且‖H‖2=1.2233，‖H‖∞=1.2。在文獻[11]中，相應的取值分別為LK=[-0.85165]，‖H‖2=1.5651，‖H‖∞=1.3416。由此可見，該混合方法能夠在‖H‖∞性能指標約束下，使系統‖H‖2性能達到更小值。

例2

A=01-10，B2=CT2=01，C1=1 00 0，D1=01，B1=I

該例子源于文獻[12]，文獻中采用最優H2輸出反饋控制，經過計算得到了最優的反饋值Lk=0.819 8，‖H‖22=2.449 5。利用本文所提出的混合算法，種群初始化大小為10，經5代進化就能達到文獻中所得到的最優H2性能，并且LK=0.816 43。若進一步進化便可得到更小的‖H‖2性能。

例3 該例子同樣源于參考文獻[12]。系統矩陣A是不確定的。其中a12∈[-0.57 2.43]。

A=-2.98a120-0.034-0.99-0.210.035-0.001 10001.000 00.39-5.5550-1.89

B2=[-0.032 0 0 0 -1.600 0]T

B1=I4，Cy=0 0 1 00 0 0 1，Dy1=0，Dy2=0，C1=I4，D11=0

D12=0，C2=(I4 0)T，D21=0，D22=[1 0 0 0 0 0]T

使用DE算法產生了大小為5的種群，輸出反饋控制器為2階控制器。經過進化尋優，得到的動態輸出反饋控制器為

AK=-56.782 80.831-111.13 -3.0357，BK=-39.579 -28.88574.36 18.134

CK=[-29.312 -9.395 6]，DK=[33.00737.184]

且系統H2和H∞性能分別為‖H‖22=130.92，‖H‖∞=18.00。

為了與文獻中的結果相比較，本文采用該混合算法設計了一個靜態輸出反饋控制器。其中種群的大小為5，進化了10代后，得到LK=[2.0031 1.5806]，‖H‖22=96.009。該結果優于文獻中所提供的最優反饋LK=[-1.3793 -0.9128]，‖H‖22=110.8312。

4 結束語

基于DE算法和LMI方法，本文提出了一種用來解決H2/H∞混合控制問題的新型混合方法，該混合方法可表述為不同Lyapunov方程的形式。此方法采用不斷進化的方式來優化反饋控制器，可用來解決動態輸出反饋、靜態輸出反饋以及狀態反饋控制器的設計問題，并能夠在滿足系統H∞性能約束下使得H2性能最小化。與以往LMI方法不用的是，該方法不再需要假定X∞=X2的成立，這樣就減小了以往算法中的保守性。仿真結果表明，該方法比引用文獻中所采用的方法能提供更加理想的結果。

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