基于離散正交矩的圖像模糊不變性研究

(1.華南理工大學 計算機科學與工程學院， 廣州 510641; 2.華南農業大學 信息學院 人機交互研究中心，廣州 510642）

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摘 要：提出一種基于離散正交Tchebichef矩的模糊不變矩構造算法，其對中心對稱點擴散函數造成的模糊圖像具有不變性。該不變矩的構造與基于連續矩構造的模糊不變矩思想相似，但其在計算過程中不存在離散近似誤差和坐標變換誤差，故在有噪聲和無噪聲情況下均具有更好的模糊不變性。仿真實驗驗證了本算法的可行性。

關鍵詞：模糊不變性； 離散正交矩； 對稱點擴散函數

中圖分類號：O235 文獻標志碼：A

文章編號：10013695(2009)03115403

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Research of image blurinvariants using discrete orthogonal moments

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GAO Yuefang1， 2， CHEN Guohua1， WANG Minqin1， XIAO Su1

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(1. School of Computer Science Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510641， China; 2. Research Center of Human Computer Interaction， College of Informatics， South China Agricultural University， Guangzhou 510642， China)

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Abstract:This paper presented a novel method to construct blurinvariant moments based on discrete orthogonal Tchebichef moments in order to deal with blur images affected by a centrosymmetric point spread function (PSF). The structure of proposed blurinvariants was very similar to the ones proposed by Flusser et c. and Wee et c.， but the paper’s derivation did not involve numerical approximation of continuous integrals and coordinate space transformation. The blurinvariants have better invariance compared with the ones proposed by Flusser et c. and Wee et c.， and validated random noise stability through experiments.

Key words：blurinvariants; discrete orthogonal moment; centrosymmetric point spread function (PSF)

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0 引言

模式識別的一個主要任務是從給定圖像中推斷目標的描述，指定決策邊界及對后續待識別圖像提供最佳的識別能力。而在實際中獲得的圖像一般都是退化的圖像，進而使得識別過程變得困難。一般情況下，圖像退化過程可模型化為一個作用在輸入圖像上的線性時不變系統H，它與一個加性噪聲的聯合作用導致產生退化圖像，公式化表示為

g(x，y)=h(x，y)*f(x，y)+η(x，y)(1)

其中：f(x，y)為輸入圖像；g(x，y)為退化圖像；h(x，y)為系統的點擴散函數(PSF)；*表示空間卷積；η(x，y)為加性噪聲，主要產生于圖像的獲取(數字化過程)和傳輸過程。

在實際中常遇到的退化情況是圖像模糊。造成模糊的情況有多種，若場景是平坦的，且成像系統是線性時不變系統，則模糊可看做是原圖像與點擴散函數卷積造成的。由于大多數情況下點擴散函數未知，尋找模糊場景中卷積不變量至關重要。Flusser等人[1~3]基于圖像幾何矩提出模糊不變矩的推導方法，并將其應用于人臉識別、圖像匹配、圖像配準等領域。Liu等人[4]基于復數不變矩推導一組模糊不變矩用于識別圖像模糊情況。Wee等人[5]基于正交Legendre中心矩提出一種新的模糊不變矩推導方法。

上述模糊不變矩的構造基于連續矩，而實際處理的圖像一般都是離散圖像，故在計算過程中不可避免地存在離散近似誤差和圖像坐標變換誤差，進而影響模糊不變矩的穩定性。離散正交矩由于基函數離散正交、定義域與圖像坐標空間一致、不存在離散近似誤差和坐標變換誤差等優點，近來被引入圖像分析領域，成為目前圖像分析中矩技術的一個研究熱點。目前對其研究主要集中于尋找合適的離散正交多項式、分析圖像重建性能及相似變換不變性等方面[6~9]，而關于其模糊不變性方面的研究尚未見報道。本文在此基礎上通過分析Tchebichef矩的一些性質，提出了一種基于離散正交Tchebichef矩的模糊不變矩推導算法。通過仿真實驗，比較了該模糊不變矩與基于幾何矩和Legendre矩等連續矩推導的模糊不變矩在無噪聲和有噪聲等情況下的穩定性和抗噪性。

1 基于連續矩的模糊不變矩

圖像的模糊不變矩有時稱為模糊矩不變量(blur moment invariants)，是指基于矩方法構造的組合矩的矩值在圖像清晰情況下與受式(1)所表示的圖像退化模型影響而得到的模糊圖像情況下相同或者近似。在此不加證明地介紹一些后續分析中與模糊不變矩相關的基本概念和引理。假設給定圖像函數f(x，y)和點擴散函數h(x，y)，它是分段連續的且僅在xy平面內的有限區域具有非零值。

定義1 幾何矩。函數f(x，y)的(n+m)階幾何矩定義為

mnm=+∞-∞+∞-∞xnymf(x，y)dxdy;n，m=0，1，2，…(2)

定義2 中心矩。函數f(x，y)的(n+m)階中心矩定義為

μnm=+∞-∞+∞-∞(x-x)n(y-y)mf(x，y)dxdy(3)

其中：n和m可取所有的非負整數值；(x，y)是函數f(x，y)的重心坐標，x=m10/m00，y=m01/m00。

定義3 Legendre矩。函數f(x，y)的(n+m)階Legendre矩定義為

Lnm=(2n+1)(2m+1)/41-11-1Pn(x)Pm(y)f(x，y)dxdy(4)

其中：Pn(x)為Legendre多項式，在[-1，1]內連續正交。Legendre中心矩可采用文獻[10]中的方法推導。

定義4 在此使用的點擴散函數h(x，y)具有中心對稱性和能量守恒性，即

h(x，y)=h(-x，-y)(5)

+∞-∞+∞-∞h(x，y)dxdy=1(6)

引理1 若g(x，y)=h(x，y)*f(x，y)，則g(x，y)與f(x，y)、h(x，y)的重心坐標之間的關系為[4]

x(g)=x(f)+x(h)y(g)=y(f)+y(h)(7)

在很多情況下，點擴散函數PSF的重心坐標為(x(h)，y(h))=(0，0)，如高斯點擴散函數和其他中心對稱點擴散函數等，它表明圖像重心不受對稱點擴散函數的影響。

引理2[1] 設f(x，y)為圖像函數，定義如下函數C(f):Z×Z→R。(n+m)為偶數時，C(n，m)(f)=0；(n+m)為奇數時，

C(n，m)(f)=μnm(f)-1/μ00(f) ni=0 mj=0Rij0＜i+j＜n+m(8)

其中：μnm是圖像f(x，y)的中心矩，且

Rij=nimjC(n-i，m-j)(f)×μij(f)(9)

則C(n，m)對任意中心對稱點擴散函數具有模糊不變性，即若g(x，y)是f(x，y)的退化圖像，則C(n，m)(g)=C(n，m)(f)。

引理3[5] 設f(x，y)為圖像函數，定義如下函數C(f):Z×Z→R。對任意的(n+m)階有

B(n，m)(f)=L~(f)nm-1/L~(f)00ni=0 mj=0Rij0＜i+j＜n+m(10)

其中：L~nm是圖像f(x，y)的Legendre中心矩，且

Rij=nimjB(n-i，m-j)(f)×L~(f)ij(11)

則B(n，m)對任意中心對稱點擴散函數具有模糊不變性，即若g(x，y)是f(x，y)的退化圖像，則B(n，m)(g)=B(n，m)(f)。

引理2和3的推導過程很相似，不同之處是： a)所采用的圖像矩不同，前者是基于幾何矩，后者是基于連續正交Legendre矩；b)后者考慮了前者所忽略的偶數階矩，這樣做的優點是在較低階矩情況下可得到更多的模糊不變矩。

2 Tchebichef矩

2.1 Tchebichef離散正交多項式

n階Tchebichef離散正交多項式定義如下[11，12]：

tn(x)=(1-N)n 3F2(-n，-x，1+n;1，1-N;1)=(1-N)nnk=0[(-n)k(-x)k(1+n)k/((1)k(1-N)kk！)]=nk=0[(n+k)！/((n-k)！(k！)2)]〈n-N〉n-k〈x〉k=

nk=0Bn，k〈x〉k；n，x=0，1，…，N-1(12)

其中：

(a)k=a(a+1)…(a+k-1)，k≥1，(a)0=1(13)

3F2=(a1，a2，a3;b1，b2;z)=∞k=0[(a1)k(a2)k(a3)k zk/((b1)k(b2)kk！)](14)

〈a〉k=a(a-1)(a-2)…(a-k+1)，k≥1，〈a〉0=1(15)

Bn，k=(n+k)！/((n-k)！(k！)2)〈n-N〉n-k(16)

Tchebichef多項式具有如下正交性：

N-1x=0tm(x)tn(x)=ρ(n，N)δmn;0≤m，n≤N-1(17)

其中：

ρ(n，N)=(2n)！N+n2n+1;n=0，1，2，…，N-1(18)

為保證矩值計算的穩定性，避免多項式值的發散現象，一般須對多項式進行歸一化處理，歸一化的Tchebichef多項式為

t~n(x)=tn(x)/β(n，N)(19)

其中：

β(n，N)=ρ(n，N)(20)

ρ(n，N)=ρ(n，N)/β(n，N)2=1(21)

因此，歸一化的Tchebichef多項式集合是單位正交的。

2.2 圖像的Tchebichef矩

基于上述表示，一幅大小為N×N、像素值為f(x，y)的圖像的(n+m)階二維Tchebichef離散正交矩定義如下：

Tnm=N-1x=0N-1y=0tn(x)tm(y)f(x，y);n，m=0，1，2，…，N-1(22)

其與幾何矩之間的關系為[11]

Tnm=Anm×nk=0ml=0Bn，kBm，l×ki=0lj=0s(k，i)s(l，j)mij(23)

其中：Anm=1/(β(n，N)β(m，N))；mij為圖像的(i+j)階幾何矩；s(k，i)為滿足一定遞歸關系的第一類stirling數。根據式（23），Tchebichef中心矩可表示為

T~nm=Anmnk=0ml=0Bn，kBm，l×ki=0lj=0s(k，i)s(l，j)μij(24)

其中：μij為圖像的(i+j)階幾何中心矩。此外，亦可根據文獻[11]從Tchebichef多項式直接推導其中心矩。

3 基于Tchebichef矩的模糊不變矩構造

該部分通過分析Tchebichef矩的一些性質，提出了一種基于離散正交Tchebichef矩的模糊不變矩推導算法。根據引理1~3，基于Tchebichef中心矩的(n+m)階模糊不變矩可表示為

TBnm=0n+m=偶數 T~(g)nm-1/ T~(g)00ni=0mj=0Rij0＜i+j＜n+m n+m=奇數(25)

其中： T~(g)nm是圖像g(x，y)的Tchebichef中心矩。

Rij=nimjTB(n-i，m-j)(g)× T~(g)nm(26)

其初始條件為TB01=0，且這些初始條件與f(x，y)、h(x，y)無關。

其具體實現過程如圖1所示。

根據式(25)和(26)，可構造任意階的矩不變量及其顯式表示。在此僅給出其3和5階模糊不變矩的顯式表示：

TB30= T~30(27)

TB21= T~21(28)

TB12= T~12(29)

TB03= T~03(30)

TB50= T~50-10 T~30 T~20/ T~00(31)

TB41= T~41-2(3 T~21 T~20+2 T~30 T~11)/ T~00(32)

TB32= T~32-(3 T~12 T~20+ T~30 T~02+6 T~12 T~11)/ T~00(33)

TB23= T~23-(3 T~21 T~02+ T~03 T~20+6 T~12 T~11)/ T~00(34)

TB14= T~14-2(3 T~12 T~02+2 T~03 T~11) T~00(35)

TB05= T~05-10 T~03 T~02/ T~00(36)

4 實驗結果與分析

為驗證提出的基于Tchebichef矩的模糊不變矩算法的性能，利用MATLAB對本文提出的算法與基于幾何矩的模糊不變矩算法(簡稱Flusser算法)和 基于Legendre矩的模糊不變矩算法(簡稱Wee算法)的不變性及抗噪性進行分析。在同一實驗中，計算其前7階奇數部分共18個模糊不變矩。為減少矩值動態范圍過大的情況，均采用相同的歸一化方法對矩值進行處理。計算機的配置為Pentium 42.4GHz CPU，768 MB內存，操作系統為Windows XP。

圖2給出了一幅圖像離焦產生的模糊圖像。其中：(a)是大小為128×128的灰度圖像；(b)和(c)分別為離焦半徑分別為5 和10時產生的模糊圖像；(d)為模糊圖像(b)添加5%椒鹽噪聲所生成的圖像。模糊圖像與原圖像的模糊矩值的誤差分析和抗噪性分析分別如圖3和4所示。其中橫坐標Bpq表示(p+q)階模糊不變矩；縱坐標表示為上述兩種不同程度的模糊圖像相對于原始圖像的不同階模糊不變矩值的誤差。

從圖3和4 可以看出，在無噪聲情況下，本文提出的方法與Wee算法性能接近，主要原因在于當N→∞時，Tchebichef多項式tn(x)與Legendre多項式Pn(x)近似一致[6]，即

limN-∞tn(i)=Pn(x′)(37)

其中：

x′=(2i-N)/N; i=0，1，2，…，N-1(38)

在有噪聲的情況下，前者的抗噪性能優于后者，這是因為離散正交矩較連續正交矩具有更多的優點：無須數值近似和坐標空間的變換，因此計算精度較高。此外，無論在無噪聲還是有噪聲的情況下，本文提出的方法和Wee算法的模糊不變矩的穩定性均優于Flusser算法。主要原因是前者是基于正交矩的，而后者基于非正交矩，其高階矩易受噪聲影響。

5 結束語

本文提出了一種基于Tchebichef矩的模糊不變矩表示算法。該算法建立在Flusser和Wee提出的理論的基礎上，利用離散正交矩自身特性構造對稱點擴散函數造成的模糊圖像的不變量。實驗分析表明，該算法不僅具有較好的模糊不變性，還具有較強的抗噪聲能力，可用于模糊圖像的表示與識別。此外，該算法在此僅考慮點對稱擴散函數造成的模糊圖像識別情況，對于其他的畸變情況，如旋轉、縮放、平移及其他模糊情況沒有涉及。這些也是今后需要研究的方向。

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