淺析蛛網模型在分析市場經濟穩定條件中的應用

[摘 要] 本文利用市場供求關系的需求函數和供應函數的圖形，建立蛛網模型，并借助差分方程將模型結果用公式表示，再對結果進行分析。最后可將該模型進行適當推廣，以實現對市場經濟的調控作用。

[關鍵詞] 蛛網模型 市場經濟 數學建模

在影響市場經濟的因素中，我們將重點考慮商品的銷售價格與生產產量這兩個指標，它們是整個經營過程中的核心因素，要想搞好經營，取得良好的經濟效益，必須把握好這兩個因素的規律，作好計劃。下文將通過建立數學模型研究市場經濟的規律和市場趨勢。

一、模型假設與建立

將市場演變模式劃分為若干段，用自然數n表示時段；設第n個時段商品的數量為xn，價格為yn，n=1，2…。價格與產量緊密相關，可以用一個確定的關系來表現，即設

yn=f(xn) （1）

該函數反映消費者對這種商品的需求關系，我們稱之為需求函數。商品數量越多，價格就越低，故f是單調遞減函數；又假設下一時段的產量xn+1是決策者根據這期的價格決定的，即設

xn+1=h(yn)或yn=g(xn+1)（2）

該函數反映生產者的供應關系，稱供應函數。商品的價格越高生產量越大，故h是單調增加函數，g也是單調增加的對應關系。

為表現出xn和yn的變化過程，我們可以借助已有的函數f和g，通過對應關系的幾何表現把點列(xn，yn)和(xn+1，yn)在坐標系中描繪出來分析其中(xn，yn)=(xn，f(xn))，(xn+1，yn)=(xn+1，g(xn+1))。如圖1，圖2。

可見，如果點列P1(x1，y1)，P2(x2，y1)，P3(x2，y2)，P4(x3，y2)連結，最后收斂于點P0，如圖1所示，則xn→x0，yn→y0并且P0就是兩條曲線的交點，從而是穩定的。如果需求函數和供應函數由圖2的曲線所示，市場經濟將按照P1，P2，P3，P4，…的規律變化而遠離P0，即P0是不穩定點，市場經濟趨向不穩定。圖1、2中，將點列P1(x1，y1)，P2(x2，y1)，P3(x2，y2)，P4(x3，y2)連接起來，就會形成象蛛網一樣的折線，這個圖形被稱作為蛛網模型。

一旦需求曲線和供應曲線確定下來，商品數量和價格是否趨向穩定，就完全有這兩條曲線在平衡點P0附近的形狀決定。分析圖1和圖2的不同之處會發現，在P0附近，圖1的f比g平緩，圖2的f比g陡峭。如果曲線y=f(x)和y=g(x)在交點P0處切線的斜率的絕對值記為:kj，kg，則，當kfkg時，P0點是不穩定的。由此可見，需求曲線越平，供應曲線越陡，越有利于經濟穩定。

二、模型的差分方程分析

由（1）、（2）式可建立差分方程：

xn+1=h[f(xn)]（3）

yn+1=f[h(yn)]（4）

設P0(x0，y0)點滿足：y0=f(x0)，x0=h(y0)，在P0(x0，y0)點附近取函數f(x)，h(x)的一階近似：yn=y0-α(xn-x0)，α＞0（5）

xn+1=x0+β(yn-y0)，β＞0（6）

合并兩式可得：xn+1=-αβxn(1-αβ)x0，n=1，2 （7）

（7）式是關于xn的一階線性差分方程。當然它是原來方程的近似模型，作為數學模型，本來就是客觀實際問題的近似模擬，現在為了處理方便，適當取用其近似形式是合理的。其中，-α為f在P0點處的切線斜率；為g(x)在點P0處切線的斜率。

方程（7）遞推可得：xn+1=(-αβ)x1+(1-(-αβ)n)x0，n=1，2(8)

由此可得，當n→∞時，xn→x0，即P0點穩定條件是αβ<1即:

P0點不穩定的條件是αβ＞1即：

這個結論與蛛網模型的分析結果是一致的。

三、模型解釋

由（5）式可知，α表示商品供應量減少1個單位時價格的上漲幅度，由（6）式可知，β表示價格上漲1個單位時（下一時段）商品供應的增加量。α反應消費者對商品需求的敏感程度，β反映生產經營者對商品價格的敏感程度。當供應函數g在β固定時，α越小，需求曲線越平，表明清費者對商品需求的敏感程度越小，越利于經濟穩定。反之，當α，β較大，表明清費者對商品的需求和生產者對商品的價格都很敏感，則會導致經濟不穩定。

四、模型推廣

假設商品生產數量xn+1不是根據前一時期的價格yn決定，而是根據前兩個時期的價格yn，yn+1決定，為簡化起見設根椐它們的平均值 (yn+yn+1)/2，于是供應函數式(2)表示為 （9）

(2)式的線性近似表達式(6)可表示為:（10）

對此模型仍用線性近似關系可得:首先求出平衡點，即解方程

，，則有，所以

再結合（5）式可得：

所以2xn+1+αβxn-1+αβxn-1=(1+αβ)x0

即2xn+2+αβxn+1+αβxn=(1+αβ)x0（11）

特征方程為2λ2+αβλ+αβ＝0，特征根為

所以αβ＞8時，，此時解不穩定。αβ＞8時，，則αβ＞2時，。從而解是穩定的。

進一步來看，對這個模型還可以進行進一步的分析:考慮下一年的量時，還可以近k年的價格來決定，例如:設，另外還可以考慮引入投資額，并建立有關的離散方程關系。

參考文獻：

[1]姜啟源:數學模型.高等教育出版社，2003

[2]梁國業:數學建模.北京冶金工業出版社，2004