小波與混理論相結合的匯率預測

[摘 要] 應用小波變換和混沌理論提出了一種匯率建模及預測的方法。首先應用小波分解理論對匯率序列進行分解，得到低頻部分和高頻部分；然后在此基礎上作進一步分析，以確認高、低頻部分都存在混沌特性；再應用混沌理論分別建立高、低頻部分的預測模型，進行預測；最后對混沌模型預測的結果予以小波重構，實現對原始匯率序列的預測。對兩種主要貨幣兌美元的日匯率序列進行了實證。研究表明，該方法具有較高的精度，并具有極大的應用前景。

[關鍵詞] 小波分解 匯率 混沌 預測

匯率在宏觀經濟政策、商業經營和個人決策制定上的作用越來越重要，這種重要性使匯率預測已經成為國內外學者研究的熱點。然而，匯率系統是一個復雜的系統，它具有復雜的非線性動力系統特征，既受確定性規律支配，又表現出某種隨機現象，因此要做到對匯率進行準確的預測是一個很難的研究課題。

匯率預測問題屬于時間序列預測范疇， 傳統的時間序列分析模型主要是基于線性自回歸(Auto Regression， AR)模型和線性自回歸滑動平均(Auto Regression Moving Average， ARMA)模型，如矢量自回歸模型、雙線性模型以及門限自回歸模型等。這些模型對線性系統具有較好的預測效果，但用于預測匯率這樣的非線性系統時，準確性較差。神經網絡預測方法雖然具有逼近非線性的能力，然而，當用它來預測匯率系統時，其結果并不理想，而且還存在著算法收斂速度、網絡推廣能力等目前難以突破的障礙和困難。

小波分析的提出和發展為研究匯率預測問題提供了強有力的工具。小波變換具有獨特的多尺度分析能力，能將時間序列按不同尺度分解成不同的層次，從而降低時間序列中存在的非線性程度，而使問題變得簡單，便于分析和預測。基于此，本文提出一種方法，將小波變換與混沌理論相結合，對匯率預測進行研究，以期提高預測的精度。

一、小波分解理論概要

設其傅立葉變換為，當滿足允許條件：

(1)

時，稱為一個基本小波或母小波。將經伸縮和平移后得

(2)

稱其為一個小波序列，式中，a為伸縮因子；b為平移因子。

小波分析的重要應用之一是多分辨分析。多分辨分析是一種對信號的空間分解的方法，在其基礎上，產生了小波分解的Mallat算法。運用Mallat算法，可以將信號一層層進行分解，每一層分解的結果是將上次分解得到的低頻信號再分解成低頻和高頻兩部分。例如，從第一層開始分解，結果有高頻部分D1和低頻部分；接著，對低頻部分進行進一步的分解，結果有高頻部分D2和低頻部分。如此，一直把信號進行分解，經過N層分解之后，原始信號X分解為：

X=D1+D2+∧+DN+AN (3)

式中，D1，D2，∧，DN分別為第1層、第2層到第N層分解得到的高頻信號(又稱細節信號)；AN為第N層分解得到的低頻信號(又稱逼近信號)。

如能對D1，D2，∧，DN和AN進行預測，然后通過小波重構算法即可實現對原始信號的預測。

二、匯率預測研究

匯率價格具有波動特性，由于波動的時間性，其在不同時間上波動的快慢是不同的，即它具有不同的高或低頻特性，利用小波變換的特性能夠撲捉到這種特性，當不能完全展現波動特性時（精度不滿足要求）就需要通過多層次的變換去實現。

本文選取2005年7月22日～2008年11月7日的加拿大元兌美元和英鎊兌美元日匯率數據，對匯率進行建模和預測。數據來源于美國聯邦儲備銀行圣路易斯官方網站。

1.小波分解及特征分析

利用小波分解算法，分別對加拿大元兌美元和英鎊兌美元日匯率序列進行五層分解，即將原始時間序列分別分解成低頻部分 和高頻部分 ，分解層數的選擇是根據預測誤差最小而定。加拿大元兌美元和英鎊兌美元日匯率序列分解后的高低頻部分的波形分別如圖1，圖2所示。

文獻已證明匯率時間序列是具有混沌特性的，因此，兩個匯率序列經小波分解后的高頻部分很可能仍然具有混沌特征，需要進行判斷。判斷一個序列是否具有混沌特征，要看這個序列的最大Lyapunov指數是否為正。如果為正，則此序列是混沌的。本文采用小數據量方法分別求取各高頻部分的最大Lyapunov指數，其結果都為正，因此可以判斷兩個匯率序列的高頻部分都具有混沌特性，可通過建立各自的混沌模型進行預測。圖1、圖2所顯示的低頻部分雖然較平緩，然而經過計算，其最大Lyapunov指數仍為正，因此低頻部分也具有混沌特性，也可通過建立各自的混沌模型進行預測。

2.匯率預測

2005年7月22日～2008年11月7日加拿大元兌美元和英鎊兌美元匯率數據，其樣本數量分別為833個，將其分別進行5層小波分解后，分別得到6層時間序列，每層時間序列均有833個數據。由于分解后的時間序列都具有混沌特性，因此，對分解后的時間序列應分別建立混沌模型進行預測。混沌時間序列預測的基礎是相空間的重構理論，因此，首先要通過重構相空間矢量來重構相空間。

小波分解得到的各混沌時間序列可表示為{xk}，k=1，∧K，則重構的相空間矢量為

Vn=(xn，xn-τ，∧，xn-(d-1)τ)(4)

式中τ為時滯時間；d為嵌入維數，可由零階近似法確定;n=J0，J0+1，∧，Nf，且J0=(d-1)τ+1，Nf， 為樣本值個數。由嵌入理論可知，存在一映射F∶Rd→Rd使得

Vn+1=F(Vn) (5)

當時間序列的觀察函數是光滑的且嵌入維數足夠大時，式（5）的動力學行為與重構前原系統的動力學行為是拓撲等價的。在實際應用中，使用一標量方程來代替式（5）的矢量方程，即

xn+1=f(Vn) (6)

式（6）就是對分解后的時間序列建立的混沌模型，根據此模型就可由Vn預測出xn+1。

混沌模型建立后，可以把它用于預測。具體的做法是，每個時間序列的前800個數據用于確定預測模型和優化模型參數，后面33個數據用于實際預測。采用混沌模型對各時間序列分別進行預測，即得各時間序列的預測值。

將分解的各時間序列的預測值應用小波重構方法進行合成，得到的結果就是原始日匯率序列的預測值，即加拿大元兌美元和英鎊兌美元匯率序列的預測值，各自的預測結果如圖3、圖4所示。

圖3、圖4中，實線為實際值，虛線為預測值，預測均方根誤差分別為0.0260和0.0201，由圖可見預測效果非常好。本文也采用式（6）所示的混沌模型對加拿大元兌美元和英鎊兌美元匯率序列進行了預測，預測均方根誤差分別為和0.2200和0.1232，由此可見本文的方法明顯優于直接采用混沌模型的預測。

三、結論

本文應用小波變換和混沌理論提出了一種匯率建模及其預測的方法，并應用它對加拿大元兌美元和英鎊兌美元的日匯率序列進行了預測。對于匯率這一復雜的時間序列而言，本文對兩種時間序列的預測均方根誤差分別達到和0.0260和0.0201，結果是比較滿意的。本文的結果表明，通過對時間序列的小波分解，進而建立混沌模型并進行預測，再進行小波合成的方法是匯率預測的好方法，具有較高的精度，在匯率預測中具有極大的應用前景。

參考文獻:

謝 赤 楊 妮 孫 柏:匯率時間序列混沌動力學特征及實證[J].系統工程理論與實踐，2008，(8):118～122