淺談數(shù)學(xué)語言及其作用

陳　躍

語言是人類表達(dá)思想,相互交流的工具。數(shù)學(xué)語言則是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)交流的工具。語言不僅是思維的工具,而且是思維的產(chǎn)物。同時,語言又反作用于思維,使思維更健康、更活潑。語言的巧妙運用需要智慧,在語言的運用過程中也使人更富于智慧。自然語言與學(xué)科的專業(yè)語言一般都有區(qū)別。在自然語言上沒有什么困難的情況下,在專業(yè)語言上可能會有困難。這種困難不一定來自語言本身,而往往來自專業(yè)。不了解數(shù)學(xué)的內(nèi)容和本質(zhì),無法把握數(shù)學(xué)語言;而不掌握數(shù)學(xué)語言,也難以理解數(shù)學(xué)內(nèi)容。

一、自然語言與數(shù)學(xué)語言

自然語言是具體的語言,數(shù)學(xué)語言是形式化的語言。中國人說漢語,美國人說英語,這些是自然語言;上海人說上海話,廣東人說廣東話,這些也是自然語言。數(shù)學(xué)語言是以自然語言為載體,由數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)術(shù)語和經(jīng)過改造的自然語言構(gòu)成的科學(xué)語言,是形式化的語言。

語言都是用來描述事物的。自然語言可以用來描述事物的各個方面,數(shù)學(xué)語言則主要用來描述事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式,以及事物的結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系等。例如一個工廠有四種產(chǎn)品,要向北京、天津、上海、重慶、武漢、沈陽六地發(fā)貨。如果采用自然語言,就顯得麻煩。但如果采用數(shù)學(xué)語言,只需寫出一個4行6列的矩陣,就可以輕松的把要發(fā)貨的量及地點表達(dá)出來。

二、數(shù)學(xué)語言是人類文明、宇宙文明的共同語言

由于數(shù)學(xué)語言往往需要依靠符號來表達(dá),而世界各國又采用相同的數(shù)學(xué)符號,這就使得數(shù)學(xué)語言成為人類文明的共同語言。例如對于數(shù)學(xué)語言(a+b)2 =a2+2ab+b2和 sin2χ+cos2χ=1表達(dá)的意思,任何一個民族、任何一個地域的人都能明白。

在20世紀(jì)70年代,美國曾經(jīng)發(fā)射過一艘宇宙飛船,目的是與可能存在的“外星人”取得聯(lián)系。為了讓星外文明了解地球文明,這艘宇宙飛船帶去了許多地球上的照片和聲音;同時還帶去了刻有如圖所示的黃金制作的圖板,這也體現(xiàn)了數(shù)字語言是宇宙夜文明的共同語言。

三、數(shù)學(xué)語言的特點

數(shù)學(xué)語言中有大量的符號和圖形,這與自然語言有顯著的區(qū)別。除此之外,即使對于數(shù)學(xué)語言中的自然語言,也有下面四個明顯的特點:

1.明晰

一方面,數(shù)學(xué)語言是明確的,從不含糊的。例如“大于”與“大于等于”的涵義,是明確不同的;“存在左極限”與“存在極限”也是明確不同的。另一方面,數(shù)學(xué)語言又是有條理的,一段話的敘述中,先說哪個層次,后說哪個層次,是很有講究的;。數(shù)學(xué)語言中還必須有“因”有“果”。“因”“果”分明,不能把“因”說成“果”,也不能把“此因”說成“彼因”。

2.嚴(yán)謹(jǐn)

這是指邏輯推理的嚴(yán)格和謹(jǐn)慎。首先,定理的敘述是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹＠缢阈g(shù)基本定理敘述為:任意一個大于1的自然數(shù),都可以被表示為有限個素數(shù)(可以重復(fù))的乘積,并且如果不計次序的話,表法是唯一的。在這里,“大于1”的條件不可少,少了就欠嚴(yán)謹(jǐn);“有限個”三個字不可少,少了就欠嚴(yán)謹(jǐn);“大于1”的條件不可少,少了就欠嚴(yán)謹(jǐn);“(可以重復(fù))”的注解也不可少,少了就欠嚴(yán)謹(jǐn); “如果不計次序”的假設(shè)也不可少,少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)。

3.簡潔

數(shù)學(xué)語言要求簡潔,它與自然語言不同。自然語言允許同義反復(fù),為了描述某一事物或形容一個人,往往用一大串意義相近的詞匯或并列的語句。數(shù)學(xué)語言則要求用詞最少、不允許同義重復(fù)。在數(shù)學(xué)表達(dá)中,當(dāng)一個語句被另一些語句蘊(yùn)含著的時候,它就是多余的,一定要去掉這個語句。

例如,區(qū)間[a, b],如果用自然語言描述就要說成“大于或等于a,小于或等于b的一切實數(shù)的集合。”又如,“數(shù)列{an｝收斂的充要條件是:對任意給定的εф0,總存在一個自然數(shù)N, 使得n>N和m>N時,都有Ⅰan-amⅠπε”,這是著名的柯西收斂準(zhǔn)則。如果用一般語言描述是難以表達(dá)清楚的。

4.規(guī)范

數(shù)學(xué)語言不能有任何歧義。一個詞作為一個概念被定義以后,這個定義就要隨著這個詞貫徹始終,不能再有任何改變。一些數(shù)學(xué)語言中常見的詞語,都有其特定的涵義,長期以來形成了規(guī)范。例如,“開區(qū)間”、“閉區(qū)間”、“左開右閉的區(qū)間”表達(dá)的是三種不同的意思;再如,“包含”是用來說明兩個集合之間的關(guān)系,“屬于”是用來說明元素與集合之間的關(guān)系,“包含”與“屬于”不能混用。

四、數(shù)學(xué)語言的作用

1.掌握數(shù)學(xué)語言是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)

一方面,數(shù)學(xué)語言既是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分,又是數(shù)學(xué)知識的載體。各種定義、定理、公式、法則和性質(zhì)等無不是通過數(shù)學(xué)語言來表述的。離開了數(shù)學(xué)語言,數(shù)學(xué)知識就成了“水中月,鏡中花”。另一方面,數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)語言的內(nèi)涵,對數(shù)學(xué)知識的理解、掌握,實質(zhì)是對數(shù)學(xué)語言的理解、掌握。

2.掌握數(shù)學(xué)語言,有助于發(fā)展邏輯思維能力

邏輯思維是思維的高級形式。在各種能力中,邏輯思維能力處于核心地位。語言是思維的物質(zhì)外殼,什么樣的思維依賴于什么樣的語言。具體形象語言有助于具體形象思維的形成;嚴(yán)謹(jǐn)縝密、具有高度邏輯性的數(shù)學(xué)語言則是發(fā)展邏輯思維的“培養(yǎng)液”。

3.掌握數(shù)學(xué)語言是解決數(shù)學(xué)問題的前提

“對一個問題能清楚地說一遍,等于解決了問題的一半。”解決問題的過程是一個嚴(yán)密的推理和論證的過程,正確地理解題意,畫出符合要求的圖形,尋找已知條件,分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系,有關(guān)知識的映像,解題判斷的形成,直至解答過程的表述等,處處離不開數(shù)學(xué)語言。

4.掌握數(shù)學(xué)語言,有利于思維品質(zhì)的形成

數(shù)學(xué)語言的特點決定了數(shù)學(xué)語言對思維品質(zhì)的形成有重要作用。嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范是培養(yǎng)思維的邏輯性、周密性與批判性的“良方”;明晰、簡潔對培養(yǎng)思維的獨立性與深刻性有特效。

5.掌握數(shù)學(xué)語言,能激起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

數(shù)學(xué)語言具有自己的特點,它是一種內(nèi)在的美,表面顯得枯燥乏味,其實卻蘊(yùn)藏著豐富的內(nèi)涵。充分理解、掌握它,就能領(lǐng)略其中的微妙之處,感受其中的美的意境,從而激起學(xué)習(xí)、探究的興趣。

6.數(shù)學(xué)語言使科學(xué)精確化

以下三段名言,就是很好的注釋:

“數(shù)學(xué)進(jìn)入一門科學(xué)的程度,反映了這門科學(xué)成熟的程度。”

“世界這本大書,是用數(shù)學(xué)的語言寫成的。”

“要是沒有數(shù)學(xué)語言,宇宙幾乎是不可描述的!”

事實上,牛頓用數(shù)學(xué)語言展示了他的三大定律;愛恩斯坦用黎曼幾何的語言闡述了他的廣義相對論;數(shù)學(xué)家用群論的語言解決了晶體的分類;經(jīng)濟(jì)學(xué)家用數(shù)學(xué)語言表述了經(jīng)濟(jì)運行的規(guī)律。物理中的布朗運動成為概率論中的語言,生物中的遺傳基因DNA原來是數(shù)學(xué)中的雙螺旋線,醫(yī)學(xué)上已經(jīng)出現(xiàn)“數(shù)字化人體”的概念。現(xiàn)在,任何一個科學(xué)工作者要使自己的工作精確化,都必須借助于數(shù)學(xué)語言。