“偷梁換柱”法巧解碰撞問題

李柏成　任春麗

1 碰撞問題中的兩種重要模型

碰撞，一般是指兩個或兩個以上物體在運動中發生接觸時，在相對較短的時間內發生強烈相互作用的過程。高中物理所涉及的碰撞問題主要有兩種模型：

（1）彈性碰撞

彈性碰撞過程具體可分為兩個過程。以兩球碰撞為例：開始碰撞時，兩球相互擠壓，發生形變，由形變產生的彈性恢復力使兩球的速度發生變化，直到兩球的速度變得相等為止。這時形變得到最大。這是碰撞的第一階段，稱為壓縮階段。此后，由于形變仍然存在，彈性恢復力繼續作用，使兩球速度改變而有相互脫離接觸的趨勢，兩球壓縮逐漸減小，直到兩球脫離接觸時為止。這是碰撞的第二階段，稱為恢復階段。碰撞前后系統動能守恒（能完全恢復原狀）。

（2）完全非彈性碰撞

碰后系統內的物體以相同的速度共同運動。碰撞后系統動能不守恒且動能損失最多，根據能的轉化和守恒，也就是說系統其它某種形式的能增加最多。

2 模型特征應用的“偷梁換柱”

如上所述，彈性碰撞總具有“壓縮階段”和“恢復階段”。壓縮階段結束時碰撞的物體具有相同的速度，從這個特征看，這個過程可等效于完全非彈性碰撞。根據能的轉化和守恒，此時系統的動能將向其它形式能轉化最多，此為“偷梁換柱”。在解題時，直接應用這個等效的思想，使解題方便而快捷。

3 典型例題分析

（2006，全國高考理綜Ⅱ）如圖1所示，位于光滑水平面上的小滑塊P和Q都可視為質點，質量相等。Q與輕質彈簧相連。設Q靜止，P以某一初速度向Q運動并與彈簧發生碰撞。在整個碰撞過程中，彈簧具有的最大彈性勢能等于（ ）

A．P的初動能

B．P的初動能的1/2

C．P的初動能1/3

D．P的初動能1/4

分析 以光滑和彈簧的連接為條件，本題屬于明顯的完全彈性碰撞問題。難點在于分析彈簧何時具有最大彈性勢能。

常規判斷 P開始壓縮彈簧時，v^P＞v^Q，彈簧被壓縮，然后P因彈力作用而減速，Q因彈力作用而加速，達到速度相等以后，P繼續減速，Q繼續加速，使v璓＜v^Q，彈簧長度開始恢復。可見，當v^P=v^Q時，彈簧具有最大的彈性勢能。

設P 的初速度為v⁰，共同運動速度為v，由動量守恒：mv⁰=2mv

竅門應用 根據能的轉化和守恒，彈簧的彈性勢能是由系統動能轉化而來的，彈性勢能最大即系統動能損失最多，根據完全非彈性碰撞特征可知，此時P、Q具有相同速度。

4 舉一反三

例2 如圖2所示，小車的上面由中凸的兩個對稱的光滑曲面組成，整個小車的質量為m，原來靜止在光滑的水平面上。今有一個可以看作質點的小球，質量也為m，以水平速度v從左端滑上小車，恰好到達小車的最高點后，又從另一個曲面滑下。關于這個過程，下列說法正確的是（ ）

A．小球滑離小車時，小車又回到了原來的位置

B．小球在滑上曲面的過程中，對小車的壓力的沖量大小是mv/2

C．小球和小車作用前后，小車和小球的速度沒有變化

D．車上曲面的豎直高度不會大于v²/4g

簡析 由碰撞過程的動量和能量守恒可知，小球滑離小車時球的速度為v，車的速度為零，整個過程車一直向前運動，故A錯C對。

球恰好到達小車的最高點時，系統有最大的重力勢能，根據能的轉化和守恒，系統動能轉化最多，即小球和車速度相同

系統水平方向動量守恒mv=(m+m)v′，所以v′=v/2。則小球上滑過程中，車所受合力的沖量是mv/2，又系統能量守恒

答案為：C、D

碰撞問題中的模型觀念固然重要，而“偷梁換柱”則是把完全非彈性碰撞的問題結論應用于彈性碰撞中，解題時不完全被模型或模型特征限制思維。這種方法的最根本的原理即為能量的轉化與守恒。

(欄目編輯張正嚴)