錯(cuò)誤記錄卡：一種有效的復(fù)習(xí)方法

臨近中考，對(duì)如何提高復(fù)習(xí)效率，大家都十分關(guān)注，希望老師能“支幾招”，然而Z老師并沒(méi)有正面回答，而是請(qǐng)同學(xué)先看題.

例1(2007年山西省中考試題)如圖①，直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到l的距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水.現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，則鋪設(shè)的管道最短的是().

大家不約而同地選B.H同學(xué)說(shuō):對(duì)這種最小值問(wèn)題，我的印象太深刻了.

Z老師笑了笑，說(shuō):我看到這個(gè)問(wèn)題時(shí)，第一反映也和大家一樣，但我不禁自問(wèn)，真的這么簡(jiǎn)單嗎?除了B，我們還可能選擇A.

對(duì)于A，MP+PQ=2+8=10.如圖②過(guò)Q作QN⊥l于N，過(guò)P作PS⊥QN于S.在Rt△QPS中，QS=QN-PM=5-2=3，PQ=8，PS===MN.

對(duì)于B，由于P、P′關(guān)于l對(duì)稱，MP+MQ=P′Q.如圖③，過(guò)Q作l的垂線，過(guò)P′作l的平行線，相交于K，則QK=5+2=7，P′K=，所以P′Q==>10，這說(shuō)明本題正確的選擇是A.

H同學(xué)說(shuō):為什么我們熟知的最值結(jié)論在這里出了問(wèn)題?究竟錯(cuò)在哪里呢?

Z老師反問(wèn):直線l外有A、B兩點(diǎn)，在l上找一點(diǎn)M，使MA+MB的值為最小，M如何找?

小清說(shuō):(1)如果A、B在l的兩側(cè)，如圖④，因?yàn)閮牲c(diǎn)間，連接這兩點(diǎn)的線段最短，所以連接AB，線段AB與l的交點(diǎn)就是M，MA+MB的最小值就是AB的長(zhǎng).

(2)如果A、B在l的同側(cè)，如圖⑤，考慮B(或A)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′(或A′).由于l是BB′的垂直平分線，l上的任一點(diǎn)到B、B′的距離相等，因此在l上找一點(diǎn)M，使MA+MB的值為最小，就轉(zhuǎn)化為在l上找一點(diǎn)M，使MA+MB′的值為最小，由(1)知就是AB′與l的交點(diǎn).

Z老師說(shuō):小清分析得很好，請(qǐng)注意，這里最小值的含義是l上的某一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)距離之和的最小值.

H同學(xué)恍然大悟，說(shuō):水泵站向P、Q供水并不一定是向P、Q分別供水，也可以是水泵站經(jīng)P向Q供水.是否經(jīng)P向Q供水的路程一定比分別供水短呢?

Z老師說(shuō):你的問(wèn)題提得很好，例2會(huì)給你答復(fù).

例2(2008年河北省中考試題)在一平直河岸 l同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，A、B到l的距離分別是3km和2km，AB=akm(a>1)，現(xiàn)計(jì)劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個(gè)村莊供水.

方案設(shè)計(jì):某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案:圖⑥是方案一的示意圖.設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d1，且d1=PB+BA(其中BP⊥l于點(diǎn)P);圖⑦是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d2，且d2=PA+PB(其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于l 對(duì)稱，A′B與l交于點(diǎn)P).

觀察計(jì)算:(1)在方案一中，d1=km(用含a的式子表示).(2)方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算d2的長(zhǎng)，作了如圖⑧所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算d2=km(用含a的式子表示).

探索歸納:(1)①當(dāng)a=4時(shí)，比較大小:d1d2(填“>”、“=”或“<”);②當(dāng)a=6時(shí)，比較大小:d1d2(填“>”、“=”或“<”).

(2)請(qǐng)你參考下邊方框中的方法指導(dǎo)，就a(a>1)的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)選擇方案一，還是方案二?

方法指導(dǎo)

當(dāng)不易直接比較兩個(gè)正數(shù)m與n的大小時(shí)，可以對(duì)它們的平方進(jìn)行比較:

∵m2-n2=(m+n)(m-n)，m+n>0，

∴(m2-n2)與(m-n)的符號(hào)相同.

當(dāng)m2-n2>0時(shí)，m-n>0，即m>n;

當(dāng)m2-n2=0時(shí)，m-n=0，即m=n;

當(dāng)m2-n2<0時(shí)，m-n<0，即m

由于題目設(shè)計(jì)的梯度性，加上例1的啟示，H同學(xué)很快解得:當(dāng)a>5時(shí)，選方案二;當(dāng)1

Z老師說(shuō): 求直線上的一點(diǎn)到直線外兩定點(diǎn)距離之和的最小值是一個(gè)重要的極值問(wèn)題，它與軸對(duì)稱的知識(shí)緊密聯(lián)系，在中考、競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn).所以我們要認(rèn)真總結(jié)這類(lèi)題的解題方法和解答中易出現(xiàn)的錯(cuò)誤.

在復(fù)習(xí)中，肯定要接觸很多題，產(chǎn)生錯(cuò)誤是難免的，它恰恰暴露了你在知識(shí)掌握中的問(wèn)題.對(duì)待出現(xiàn)的錯(cuò)誤，尤其是對(duì)一些重要知識(shí)點(diǎn)、重要題型理解的偏差，該怎么辦?

H同學(xué)說(shuō):我想要把錯(cuò)誤記錄下來(lái)，在理解的基礎(chǔ)上，把問(wèn)題解決，不留隱患;其次，還要認(rèn)真分析錯(cuò)誤的原因，包括直接的和深層次的.例如對(duì)例1，我出錯(cuò)的直接原因是對(duì)有關(guān)的最值結(jié)論理解不透，深層次的原因是只記住結(jié)論，忽視了命題成立的前提條件，在今后學(xué)習(xí)中要吸取教訓(xùn).

小清說(shuō):對(duì)出現(xiàn)的新情況，如有可能作一些探究，對(duì)知識(shí)的深化是十分有益的，例2就是一個(gè)很好的例證.同時(shí)通過(guò)實(shí)際運(yùn)用，能加深對(duì)重要結(jié)論的理解.

Z老師說(shuō):大家說(shuō)得很對(duì).以一個(gè)做錯(cuò)的題為載體，將自己一系列的探求記錄下來(lái)，做成卡片，不斷充實(shí)，就能形成從一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)衍生的知識(shí)鏈.這就是我向大家推薦的一種復(fù)習(xí)方法.做錯(cuò)題并不可怕，關(guān)鍵是你應(yīng)該正確面對(duì)錯(cuò)誤，使壞事變?yōu)楹檬?正如一句諺語(yǔ)所說(shuō):當(dāng)你被失敗擁抱的時(shí)刻，成功也可能在親吻你.