重視對“彈性勢能”的復習

李先全

重慶南開中學，重慶市沙坪壩區400030

“彈性勢能”在高考考綱中屬于A級要求，只要求一般了解，不要求掌握彈性勢能的計算公式，要求考生知道彈性勢能的大小與彈性形變有關。但是在近幾年的高考試題中多次出現有關彈性勢能的問題，所以考生應注意對“彈性勢能”這一概念的理解。

1 “彈性勢能”的概念

發生形變的物體，在恢復原狀時能夠對外界做功，因而具有能量，這種能量叫做“彈性勢能”。在工程中又稱“彈性變形能”。例如，被壓縮的氣體、拉彎了的弓、卷緊了的發條、拉長或壓縮了的彈簧都具有彈性勢能。

對于某一彈簧而言，彈性勢能與彈簧的形變有關，形變為零，彈性勢能為零，彈性形變大，彈性勢能大，彈性勢能常用E璸表示。

2 彈性勢能的變化與彈簧彈力做功的關系

彈簧彈力做功與彈性勢能變化的關系，類似于重力做功與重力勢能的變化關系。彈簧彈力做正功，彈簧的彈性勢能減少；彈簧彈力做負功，彈性勢能增加。例如，水平彈簧振子在振動過程中（如圖1所示），小球由平衡位置O運動到A的過程中，彈簧彈力做負功，彈性勢能增加；小球由A運動到平衡位置O的過程中，彈簧彈力做正功，彈性勢能減少。お

例1（2001年上海理科綜合第17題） 有一種叫“蹦極跳”的運動中，質量為m的游戲者身系一根長為L、彈性優良的優質柔軟橡皮繩，從高處由靜止開始下落1.5L時到達最低點，若在下落過程中不計空氣阻力，則以下說法正確的是（ ）

A．速度先增大后減小。

B．加速度先增大后減小。

C．動能增加了mgL。

D．重力勢能減少了mgL。

分析 抓住橡皮繩在上述過程中的三個重要狀態：原長狀態、平衡狀態、最長狀態。它們對應的特點是：原長狀態物體僅受重力，加速度為g；平衡狀態時重力和彈力平衡，物體的加速度為零，速度最大；最長狀態彈力大于重力，加速度不為零，速度為零。答案選A。

3 有關彈性勢能與動能、重力勢能、動量的綜合問題

功能關系以及不同形式的能的轉化和守恒是自然界中最重要、最普遍、最基本的客觀規律，它貫穿于整個物理學中。而機械能與動量問題往往一起出現．下面舉三種情況的例子。

（1）光滑水平地面上的系統，涉及動量守恒，動能與彈性勢能的轉化與守恒。

例2 如圖2所示，A、B兩個物體用一根輕彈簧相連，放在光滑水平地面上，已知A物體質量為B物體的質量的一半，A物體左邊有一豎直擋板。現用力向左推物體B，壓縮彈簧，外力做功為W。突然拆去外力，B物體從靜止開始向右運動，以后將帶動A物體做復雜運動．從A物體開始運動以后，彈簧的彈性勢能最大值為（ ）

A．W。B．2W/3。

C．W/3。D．無法確定。おお

分析 拆去外力后，B物體運動到原長時，它的動能為W，

則速度為v0=Wm，

m為A物體的質量,這以后，動量守恒，

有A、B的共同速度v′=23Wm，

則E璸=W-123mv′2=W/3。

答案選C。

（2）水平小車上的系統，涉及動量守恒、動能、彈性勢能及能的轉化與守恒。

例3 如圖3所示，在水平光滑的平面上，停著一輛平板小車，小車的質量M=10kg，在小車的A處，放有一質量為m=5kg的小物塊（可以視為質點），現給物塊一個瞬時沖量I=30N?s，物塊便在平板車上滑行，與固定在平板車上的水平輕彈簧作用后又彈回，最后剛好回到A點與車保持相對靜止，物塊與平板車間的動摩擦因數為μ=0.4，求：

（1）彈簧在壓縮過程中所具有的最大彈性勢能E璸；

（2）物塊相對小車所通過的總路程s。おお

分析 m的初速度v0=Im=6m/s，

當物塊由A運動到彈性勢能最大處時，物塊和小車具有共同速度 v1，

由動量守恒mv0=(m+M)v1，得

v1=2m/s，由功能關系有：

12mv20=μmg?s2+12(m+M)v21+E璸。 ①

當物塊最后回到A時，物塊與車具有共同速度v2，由動量守恒有

mv0=(m+M)v2，所以

v2=v1=2m/s，由功能關系有

12mv20-12(m+M)v22=μmg?s 。②

由①和②式可以解得

E璸=30J，s=3m。

例4（2005年全國卷第24題） 如圖4所示，質量為m¹的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m²的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都處于伸直狀態，A上方的一段繩沿豎直方向?，F在掛鉤上掛一質量為m3的物體C并從靜止狀態釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續上升。若將C換成另一個質量為（m¹+m3)的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B剛離地時D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。

解答 開始時，A、B靜止，設彈簧壓縮量為x1，有

kx1=m¹g。①

掛C并釋放后，C向下運動，A向上運動，設B剛要離地時彈簧伸長量為x2有

kx2=m²g。②

B不再上升，表示此時A和C的速度為零，C已降到其最低點。由機械能守恒，與初始狀態相比，彈簧彈性勢能的增加量為

ΔE=m3g(x1+x2)－m¹g(x1+x2)。③

C換成D后，當B剛離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關系得

12(m3+m¹)v2+12m¹v2=(m3+m¹)g(x1+x2)-m¹g(x1+x2)-ΔE。④

由③④式得

12(2m¹+m3)v2=m¹g(x1+x2)。⑤

由①②⑤式得

v=2m¹(m¹+m²)g2(2m¹+m3)k。⑥

由以上例題可以看出，對彈性勢能及其變化的理解是解題中的難點，高考中往往也會結合其他形式的能量來考查。

(欄目編輯羅琬華)