關于交流電有效值定義中“相同時間”及適用范圍的討論

葉衛國　王翠紅

黃石實驗高中，湖北省黃石市435000

中學課本是這樣定義交流電有效值的概念的：讓交流電和直流電通過相同阻值的電阻，如果它們在相同時間內產生的熱量相等，就把這一直流電的數值叫做這一交流電的有效值。

定義中“相同的時間”是多長時間，課本中沒有指出。但在實際的相關計算中都是取一個周期。為什么可以這樣處理？我們可以從其定義出發做一推導如下：（以正弦式交流電為例）

設有一直流電和一正弦交流電分別通過同樣的電阻R，經時間t產生的熱量均為Q，設直流電大小為I，則Q=I2Rt，設交流電的平均效率為，則有Q=I2Rt=t，所以有

I=PR。①

而正弦交流電的瞬時功率為

P=I2R=（I璵sinωt)2R

=I璵2R?12(1-cos2ωt)

=12I璵2R-12I璵2Rcos2ωt，

則功率平均值為

=∑p璶t璶t=∑(12I璵2R-12I2璵Rcos2ωt璶)t璶t

=12I2璵R-12I2璵R∑t璶cos2ωtt。

若t取一周期，即t=T，由余弦函數性質知上式第二項平均值為0。

故有=12I2璵R。②

由①、②式得I=I璵2。

這就是課本中正弦交流電有效值的由來。顯然，當t=T時，上式才成立，故建議課本把有效值定義中的“相同時間”改為“一周期內”，這樣才符合實際，也便于學生理解和應用。

那么，交流電有效值是不是在任何情況下都適用呢？請看下例：

例 閉合線圈置于水平強磁場中，開始時線圈平面與磁場線成45°角（圖1加粗線所示）。若線圈繞水平且垂直磁場的軸沿順時針方向以ω勻速轉過90°角過程中，線圈中產生熱量為Q1；線圈沿逆時針方向以相同角速度ω勻速轉90°過程產生熱量為Q2，則（ ）

A.Q1＞Q2。

B.Q1=Q2。

C.Q1＜Q2。

D.不確定。

解析 線圈開始轉動時距中性面為45°角，畫出電流圖線（取順時針旋轉時電流為正），如圖2，圖3所示：（圖2、3加粗部分為題目中所提及電流狀況）おお

當線圈在起始位置時，電流大小I1=I璵sin45°=0.707I璵，由圖中可以看出，順時針旋轉時的電流值在0.707I璵以上，逆時針旋轉時電流大小均小于0.707I璵，即后者發熱肯定比前者小，故正確答案應選A。此題如果用有效值計算的話，由于兩次電流持續時間相同，均為14周期，有效值也相同，則應得出發熱量也相同的結論，這顯然是不符合事實的。

這個例子說明，用交流電的有效值來計算交流電發熱并不是任何情況下都是正確的。如對于這樣的時間段，t=217T、t=3110T等，分數部分不是T4的整數倍，則用有效值計算出的結果與實際結果之間存在極微小的誤差，時間越長，相對誤差越小。對于一般的計算來說，這個誤差可以忽略不計。

綜上所述，應該把有效值定義中的“相同時間”改為“一周期內”較為合適。有效值概念有時能精確地反映電流發熱的情況，有時只能粗略地反映電流發熱的情況，類似于用平均速度描述物體的運動快慢。但是其優點也是顯而易見的：直觀，便于計算，讀數方便等等。

(欄目編輯羅琬華)