初等數學背景下的高等數學導數教學探析

摘要: 高中數學教材中已有導數的相關知識，高等數學中也有《導數》這一重要的章節。本文就這一部分內容在高等數學與初等數學中的聯系與區別進行了分析。

關鍵詞: 導數初等數學高等數學

導數的概念、幾種常見函數的導數、導數的四則運算、導數的應用等相關知識，在高中階段教師已清晰并詳細地對學生進行了講解。這些知識難度不大，特別是在學導數的應用時，比如用導數的符號判斷函數的單調性，學生會覺得這種方法較高一學習的單調性的判斷方法更簡單。高等數學的第二章《導數》的部分知識在高中數學教材中也有。因此，高等數學教師應該處理好這些重復點的講解，否則學生會感覺所學知識與中學大致相同。例如:導數概念引入的兩個實例學生在中學已經學過，在高等數學的教學中教師可以把它放在極限的應用中簡單地講解，不需要在講解導數概念時重復講解。我從以下幾方面談談這一部分內容在高等數學與初等數學中的聯系與區別。

1.導數知識產生的背景

17世紀上半葉，在文藝復興后的資本主義生產力的刺激下，自然科學開始邁入綜合與突破的階段。1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發明了望遠鏡，后來伽利略發明了第一架天文望遠鏡。望遠鏡的發明不僅把天文學推向了新的高潮，而且促進了光學的研究。1619年，開普勒發表了行星運動定律:行星運動的軌道是一個橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點;太陽到行星的矢徑在相等的時間內掃過的面積相等;行星繞太陽公轉周期的平方與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。1638年，伽利略出版了《關于兩門新科學的對話》提出了自由落體定律、動量定律。同時，他發現彈道的拋物線性質，并斷言炮彈的最大射程在發射角為45度時方能達到。在這些科學發展的同時，微分學的基礎問題成為當時人們關注的問題:確定非勻速運動物體的速度與加速度和瞬時變化率關系的研究;在望遠鏡的光程設計中，需要確定透鏡曲面上任一點的法線，這就需要數學領域提供求任意曲線的切線的方法;確定炮彈的最大射程和尋求行星軌道的近日點與遠日點，需要函數極大值與極小值問題的一般求法。當時，大批科學家尋求解決這些問題的數學方法，也取得了一些成果，比如:費馬求極大值、極小值的方法，笛卡爾“圓法”等。

2.一些導數公式、導數應用的證明

對于對數與指數函數等導數公式，中學教材中沒有給出明確的證明。在高等數學教材中，在學生學了隱函數和反函數的求導法則后，教材給出了證明，中學教材中沒有涉及的一些初等函數的導數公式也給出了相應的證明。這樣就給出了完整的導數公式，可以為學生的專業學習打好基礎，這也是高等數學的教學目標。

導數應用中函數的單調性判斷、極值，最值的求解方法在中學階段都僅僅是通過具體事例的結果歸納出一般的結論。作為導數概念與導數應用之間的橋梁——中值定理，學生若能應用它，就可以完成這些問題的證明，從而真正弄清楚一些問題的實質。

3.導數知識在各專業中的應用

當今社會，分析的定量化、管理的科學化，促使很多領域都必須以數學知識方法為基礎。學生學了導數的概念與應用之后，教師應該引導學生把所學知識與具體專業結合起來，這樣才能達到高等數學學習的真正目的。

比如用導數概念去理解經濟學中的一些概念。導數概念在經濟學中的一個重要應用為邊際分析，利用導數研究變量的邊際變化的方法叫做邊際分析方法。具體方法如下:設生產某種商品的成本函數為C(x)，當產量增加△x時，成本相應地增加△C=C(x+△x)-C(x)，■=■就為增加的商品平均成本，即商品量的變化導致成本變化的平均變化率。令△x→0，■■稱作商品在產量為x時的邊際成本。用導數的概念來理解它，邊際成本也就是成本函數在點x處的導數。邊際成本反映了商品量為x時成本的瞬時變化率。它的經濟意義是邊際成本近似等于產量為x時再生產一個商品所需要的成本。設生產某種商品的收益函數為R(x)，利潤函數為P(x)，同樣的，稱■■為邊際收益，稱■■為邊際利潤，它們分別是收益函數和利潤函數在x處的導數。同樣的，它們的經濟意義分別為邊際收益近似等于產量為x時，再生產一個商品所增加或減少的收益和邊際利潤近似等于產量為x時，再生產一個商品所增加或減少的利潤。從以上的經濟意義來看，當邊際成本小于邊際收益時產量增加，反之，則產量減少。很明顯，商品的最佳產量是當邊際成本和邊際收益相等時的數量。以這樣一個例子為例:假設某商品的成本函數和收益函數為C(x)=3+2■萬元、R(x)=■萬元，那么邊際成本和邊際收益分別為■、■。如果產量為4百噸時，邊際成本和邊際收益為0.5萬元、0.2萬元。那么，此時再增加1百噸商品，邊際成本和邊際收益變為0.45萬元、0.14萬元，顯然增加產量是不可取的。

總之，教師在進行《導數》這一部分教學時，應該弄清學生已掌握的知識和高等數學在這一部分的教學內容和教學目的，這樣才能使學生才學有所獲，學有所用。

參考文獻:

[1]李文林.數學史教程[M].高等教育出版社，2000.

[2]重慶商學院數學教研室.經濟數學基礎[M].重慶大學出版社，2002.