淺析數(shù)形結(jié)合與思維品質(zhì)的培養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。通過(guò)數(shù)形結(jié)合可培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，具體表現(xiàn)為對(duì)思維的廣闊性、深刻性、靈活性、敏捷性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性等方面的培養(yǎng)。

一、 數(shù)形滲透，開(kāi)闊思路，培養(yǎng)思維的廣闊性

數(shù)學(xué)思維廣闊性是指對(duì)一個(gè)問(wèn)題能從多方面考慮，對(duì)一個(gè)對(duì)象能從多種角度觀察，即一道題能有多種解法，數(shù)形滲透可以達(dá)到這個(gè)目的。例1:已知正數(shù)X、Y、Z滿(mǎn)足x+y+xy=1①y+z+yz=3②Z+x+zx=4③，求x+y+z.

解一：作Rt△ABC，使AB=1，BC=，CA=2，在Rt△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P（圖1），使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，由余弦定理有PA2+PB2+PA·PB=1，PB2+PC2+PB·PC=3，PC2+PA2+PC·PA=4，這表明x=PA，y=PB，z=PC是原方程組的解。

現(xiàn)將△APC繞點(diǎn)C向外旋轉(zhuǎn)60 °，得△A'P'C，則A'、P'、P、B四點(diǎn)共線，P'A'=PA，PP'=PC=P'C，有x+y+z=A'P'+P'P+PB=A'B，在Rt△A'BC中，A′B== =.

解二：在復(fù)平面上設(shè)A=i，B=0，C=且取點(diǎn)P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120 °，得C0=cos120 °+isin120 °=-+i有：x+y+z=|A-P|+|B-P|+|C-P|=|(A-P)ω|+|B-P|+|(C-P) ω2|=|(A-P) ω+(B-P)+(C-P) ω2|=|Aω-Pω+B-P+Cω2-Pω2|=|Aω+B+Cω2|=|(--i)+ (--i)|=|--2i|=.

二、 由數(shù)思形，洞察本質(zhì)，培養(yǎng)思維的深刻性

數(shù)學(xué)思維的深刻性就是要培養(yǎng)學(xué)生善于透過(guò)事物的表面，抓住本質(zhì)，深入細(xì)致地加以分析和解決，而不被表象所迷惑。

例2:已知x，y，z滿(mǎn)足方程組 X+Y＝5x+z+zx=16y+z-yz=9 ，求zx+yz的值.

[分析]：通過(guò)解方程組求值，很煩瑣。認(rèn)真審視題目，發(fā)現(xiàn)方程組可變形為：x+y=5x+z-2zxcos120 ° =42y+z-2yzcos60 ° =32

聯(lián)想到余弦定理，可構(gòu)造一個(gè)圖形（圖2），∵S△ADC+S△BCD=S△ABC，∴Zxsin120 ° +yzsin60 °=×3×4.即：ZX+YZ=8.

三、 由形思數(shù)，靈活表象，培養(yǎng)思維的靈活性

數(shù)學(xué)思維的靈活性指的是善于根據(jù)題設(shè)中的具體情況，及時(shí)地提出新的設(shè)想和解題方案，不拘泥于陳舊的方案。

例3:已知兩個(gè)單位圓的圓心距為1，在第一個(gè)圓上有一點(diǎn)A，在第二個(gè)圓上取關(guān)于連心線為對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)B1、B2，求AB12+AB22的最小值。

解: 以O(shè)2為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則⊙O1: (x-1)2+y2=1， ⊙O2: x2+y2=1(圖3)，設(shè)A(1+cosφ，sinφ)，B1(cosφ.sinφ)，B2(cosφ，-sinφ)，則AB12+AB22=2+4(1+cosφ)(1-cosφ)≥2，即AB12+AB22的最小值為2。

四、 數(shù)形結(jié)合，相得益彰，培養(yǎng)思維的敏捷性

思維的敏捷性是指思維活動(dòng)的反應(yīng)速度和熟練程度，它表現(xiàn)為思考問(wèn)題時(shí)的敏銳快速反應(yīng)。

例4：正數(shù)a，b，c，A，B，C滿(mǎn)足條件a+A=b+B=c+C=k，求證: aB+bC+cA

證明:(圖4)作一個(gè)邊長(zhǎng)為k的正三角形△PQR，分別在各邊上取QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c，

則有:S△LRM+S+S△NRL+S△NQL

五、 以形助數(shù)，巧奪天工，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維獨(dú)創(chuàng)性是指有創(chuàng)見(jiàn)的思維，即人們?cè)谝延械闹R(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，從問(wèn)題中找出新關(guān)系，新方法，尋求答案的思維過(guò)程。

例5：圖5：（x-1）2+(y-2)2=25，直線l：（2m+1）x+(m+1)y=7m+4(m∈R)。(1) 證明：不論m取任何實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)，(2) 求直線l被圓C截得線段的最短長(zhǎng)度及相應(yīng)m的值。

[分析]：此題若采用常規(guī)解法，則問(wèn)題（1）即論證（x-1）+(y-2)=25(2m+1)x+(m+1)y=7m+4恒有兩不等解，問(wèn)題（2）應(yīng)構(gòu)建關(guān)于m的函數(shù)y(m)=|x1-x2|（其中K=-），然后確定y(m)的最小值。這是一個(gè)十分煩瑣的運(yùn)算，若借助幾何圖形運(yùn)用幾何性質(zhì)，對(duì)直線進(jìn)行剖析，分離參數(shù)m得：（2x+y-7）m+(x+y-4)=0，可知直線系恒通過(guò)以方程組 2x+y-7=0x+y-4=0的解（3，1）為坐標(biāo)的定點(diǎn)P，由∣PC∣

六、 數(shù)形對(duì)照，防錯(cuò)查錯(cuò)，培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判性是指思維活動(dòng)中獨(dú)立分析和批判的程度。它表現(xiàn)為善于獨(dú)立思考，善于提出疑問(wèn)，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤。

例6：方程x=2sinx實(shí)根個(gè)數(shù)為（），A．3、B．5、C．7、D．9。

分析：此題多用圖像法，作函數(shù)y=x，y=2sinx的草圖。兩個(gè)函數(shù)均為奇函數(shù)，故只作x≥0部分；又x>8時(shí)，x>2≥2sinx，故圖像只須取[0，3?仔]上的一段就夠了，除原點(diǎn)外，還有3個(gè)交點(diǎn)，再由奇偶性，選C（圖6）。此題由于草圖粗糙易失真，產(chǎn)生誤判，其實(shí)當(dāng)x=時(shí)，（)=>2sin，可見(jiàn)在[0，]內(nèi)還有一個(gè)交點(diǎn)，D是對(duì)的。

總之，數(shù)形結(jié)合，相互交融，二者結(jié)合，雙向聯(lián)想，優(yōu)化思維，方能培養(yǎng)思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬忠林.數(shù)學(xué)思維論[M].南寧：廣西教育出版社，1996.

[2]朱葉青.中學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練五步走[J].廣東教育，2006(9).

(蘭溪市職業(yè)中專(zhuān))