淺析數形結合與思維品質的培養

數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。通過數形結合可培養數學的思維品質，具體表現為對思維的廣闊性、深刻性、靈活性、敏捷性、獨創性和批判性等方面的培養。

一、 數形滲透，開闊思路，培養思維的廣闊性

數學思維廣闊性是指對一個問題能從多方面考慮，對一個對象能從多種角度觀察，即一道題能有多種解法，數形滲透可以達到這個目的。例1:已知正數X、Y、Z滿足x+y+xy=1①y+z+yz=3②Z+x+zx=4③，求x+y+z.

解一：作Rt△ABC，使AB=1，BC=，CA=2，在Rt△ABC內取一點P（圖1），使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，由余弦定理有PA2+PB2+PA·PB=1，PB2+PC2+PB·PC=3，PC2+PA2+PC·PA=4，這表明x=PA，y=PB，z=PC是原方程組的解。

現將△APC繞點C向外旋轉60 °，得△A'P'C，則A'、P'、P、B四點共線，P'A'=PA，PP'=PC=P'C，有x+y+z=A'P'+P'P+PB=A'B，在Rt△A'BC中，A′B== =.

解二：在復平面上設A=i，B=0，C=且取點P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120 °，得C0=cos120 °+isin120 °=-+i有：x+y+z=|A-P|+|B-P|+|C-P|=|(A-P)ω|+|B-P|+|(C-P) ω2|=|(A-P) ω+(B-P)+(C-P) ω2|=|Aω-Pω+B-P+Cω2-Pω2|=|Aω+B+Cω2|=|(--i)+ (--i)|=|--2i|=.

二、 由數思形，洞察本質，培養思維的深刻性

數學思維的深刻性就是要培養學生善于透過事物的表面，抓住本質，深入細致地加以分析和解決，而不被表象所迷惑。

例2:已知x，y，z滿足方程組 X+Y＝5x+z+zx=16y+z-yz=9 ，求zx+yz的值.

[分析]：通過解方程組求值，很煩瑣。認真審視題目，發現方程組可變形為：x+y=5x+z-2zxcos120 ° =42y+z-2yzcos60 ° =32

聯想到余弦定理，可構造一個圖形（圖2），∵S△ADC+S△BCD=S△ABC，∴Zxsin120 ° +yzsin60 °=×3×4.即：ZX+YZ=8.

三、 由形思數，靈活表象，培養思維的靈活性

數學思維的靈活性指的是善于根據題設中的具體情況，及時地提出新的設想和解題方案，不拘泥于陳舊的方案。

例3:已知兩個單位圓的圓心距為1，在第一個圓上有一點A，在第二個圓上取關于連心線為對稱的兩點B1、B2，求AB12+AB22的最小值。

解: 以O2為原點，O1O2所在直線為x軸，建立直角坐標系，則⊙O1: (x-1)2+y2=1， ⊙O2: x2+y2=1(圖3)，設A(1+cosφ，sinφ)，B1(cosφ.sinφ)，B2(cosφ，-sinφ)，則AB12+AB22=2+4(1+cosφ)(1-cosφ)≥2，即AB12+AB22的最小值為2。

四、 數形結合，相得益彰，培養思維的敏捷性

思維的敏捷性是指思維活動的反應速度和熟練程度，它表現為思考問題時的敏銳快速反應。

例4：正數a，b，c，A，B，C滿足條件a+A=b+B=c+C=k，求證: aB+bC+cA

證明:(圖4)作一個邊長為k的正三角形△PQR，分別在各邊上取QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c，

則有:S△LRM+S+S△NRL+S△NQL

五、 以形助數，巧奪天工，培養思維的獨創性

思維獨創性是指有創見的思維，即人們在已有的知識經驗的基礎上，從問題中找出新關系，新方法，尋求答案的思維過程。

例5：圖5：（x-1）2+(y-2)2=25，直線l：（2m+1）x+(m+1)y=7m+4(m∈R)。(1) 證明：不論m取任何實數，直線l與圓C恒有兩個交點，(2) 求直線l被圓C截得線段的最短長度及相應m的值。

[分析]：此題若采用常規解法，則問題（1）即論證（x-1）+(y-2)=25(2m+1)x+(m+1)y=7m+4恒有兩不等解，問題（2）應構建關于m的函數y(m)=|x1-x2|（其中K=-），然后確定y(m)的最小值。這是一個十分煩瑣的運算，若借助幾何圖形運用幾何性質，對直線進行剖析，分離參數m得：（2x+y-7）m+(x+y-4)=0，可知直線系恒通過以方程組 2x+y-7=0x+y-4=0的解（3，1）為坐標的定點P，由∣PC∣

六、 數形對照，防錯查錯，培養思維的批判性

思維的批判性是指思維活動中獨立分析和批判的程度。它表現為善于獨立思考，善于提出疑問，能夠及時發現錯誤，糾正錯誤。

例6：方程x=2sinx實根個數為（），A．3、B．5、C．7、D．9。

分析：此題多用圖像法，作函數y=x，y=2sinx的草圖。兩個函數均為奇函數，故只作x≥0部分；又x>8時，x>2≥2sinx，故圖像只須取[0，3?仔]上的一段就夠了，除原點外，還有3個交點，再由奇偶性，選C（圖6）。此題由于草圖粗糙易失真，產生誤判，其實當x=時，（)=>2sin，可見在[0，]內還有一個交點，D是對的。

總之，數形結合，相互交融，二者結合，雙向聯想，優化思維，方能培養思維品質。

參考文獻：

[1]馬忠林.數學思維論[M].南寧：廣西教育出版社，1996.

[2]朱葉青.中學數學思維訓練五步走[J].廣東教育，2006(9).

(蘭溪市職業中專)